2024-2025学年广东省广州八十九中高一（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为( ) A. B. C. D. 2.已知是平面内的一组基底，则下列四组向量中，能作为一组基底的是( ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3.如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( ) A. B. C. D. 4.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足，则( ) A. B. C. D. 5.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是( ) A. 与相交 B. 与平行 C. 与相交 D. 与异面 6.如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高( ) A. B. C. D. 7.设向量的夹角为，定义：若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为( ) A. B. C. D. 8.已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数为虚数单位，则下列说法正确的是( ) A. B. 复数的虚部为 C. 若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 10.在中，下列结论中，正确的是( ) A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，，若有两解，则长的取值范围是 11.如图，是边长为的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则( ) A. ，，，四点共面 B. 该几何体的体积为 C. 过四点，，，四点的外接球表面积为 D. 截面四边形的周长的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，已知正方形的边长为，且，则 _____． 13.下列命题正确的有_____． 若直线上有无数个点不在平面内，则 若直线与平面平行，则与平面内的所有直线都平行 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 14.已知四棱锥的个顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知向量． 当，且时，求； 当，求向量与的夹角． 16.本小题分 如图，圆锥的底面直径和高均是，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱． 若是的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积； 当为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是边长为为菱形，，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点． 求证：平面； 设为的中点，过，，三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明． 18.本小题分 在斜中，角，，的对边分别为，，，若，且． 求； 若点为中点，且，求的面积． 19.本小题分 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形设． 当时，求四边形的周长； 克罗狄斯托勒密所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求． 问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：， ，，，解得或舍去， ， ； ，， ，解得，， ， ， ． 16.解：设圆柱的底面半径为， 由三角形中位线定理可得，，圆柱的母线长为， 又圆锥的母线长为， 所以圆锥挖去圆 ... ...
