2024-2025学年浙江省宁波市三锋教研联盟高一（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则( ) A. A、、三点共线 B. A、、三点共线 C. A、、三点共线 D. B、、三点共线 2.在中，已知，，，则( ) A. B. C. 或 D. 或 3.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为( ) A. B. C. D. 4.已知点，两条不同的直线，和两个不同的平面，，下列说法正确的是( ) A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，，则 5.如图，已知直角梯形，，，，点是中点，点是线段靠近点的三等分点，则( ) A. B. C. D. 6.在中，已知，且，则的形状为( ) A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 有一个角为的直角三角形 D. 等边三角形 7.如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则 的值为( ) A. B. C. D. 8.如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量，，满足，，，则( ) A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 10.在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 11.如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是( ) A. 平面 B. 若，，，四点共面，则 C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D. 若，则以为顶点，以过、、三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的体积是_____． 13.如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为_____米 14.在中，，，为钝角，，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则 _____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知向量与的夹角，且，． 求，； 求与的夹角的余弦值． 16.本小题分 如图，梯形中，，，，，在平面内以过的直线为轴旋转一周求旋转体的表面积和体积． 17.本小题分 已知，，分别为三个内角，，的对边，． 求； 若，求周长的取值范围． 18.本小题分 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，、为侧棱上的点，且：：：：，点为上的点，且． 求证：平面； 求证：平面平面； 平面与侧棱相交于点，求的值． 19.本小题分 “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点已知的内角，，所对的边分别为，，，． 求； 若，，且点为的费马点，求； 设点为的费马点，，求的最小值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：，， ． 由题意知，， 设与的夹角为，则， 故与的夹角的余弦值为． 16.解：由题意梯形中，，，，， 在平面内以过的直线为轴旋转一周后形成的几何体为圆台． 上、下底面圆半径分别是、，圆台的高为，母线长为； 圆台的侧面积， 圆台的上下底面积， 圆台的表面积， 圆台的体积． 17.解：由 及正弦定理得： ， 因为，， 所以． 由于 ， 所以： 可得：． 又， 故A． 由，，及余弦定理得：， 又 当且仅当时取“” ， ， 又， ， 即周长的取值范围 ... ...
