2024-2025学年广东省深圳市南头中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，一个水平放置的三棱柱形容器中盛有水，则有水部分呈现的几何体是( ) A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 2.下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是( ) A. B. C. D. 3.空间中三条不同的直线，，和平面满足，，，则下面结论正确的是( ) A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若且，则 4.已知夹角为，且，则等于( ) A. B. C. D. 5.棣莫弗公式其中为虚数单位是由法国数学家棣莫弗年发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量、两地之间的距离，甲同学选定了与、不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：测量，，；测量，，；测量，，；测量，，其中要求能唯一确定、两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为( ) A. B. C. D. 7.古代的粮仓不仅是储存粮食的设施，还承载了丰富的历史和文化价值，如唐朝的“含嘉仓”等，这些粮仓不仅是国家强盛的见证，也是中国传统文化和农业社会的重要体现如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为米，圆柱部分的高为米，底面圆的半径为米，则该组合体体积为( ) A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米 8.如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是( ) A. B. C. D. 10.如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，则( ) A. 平面 B. 平面 C. 点在平面内 D. 点在平面内 11.设的内角，，的对边分别为，，，，，下列结论正确的是( ) A. 若，则满足条件的三角形只有个 B. 面积的最大值为 C. 周长的最大值为 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知是虚数单位，若复数满足，则 _____． 13.在四面体中，平面，为正三角形，，，则该四面体外接球的表面积等于_____． 14.如图，在中，已知，，，两条中线，相交于点，则的余弦值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知向量，，且， 求及； 若的最小值是，求实数的值． 16.本小题分 若，则的值． 若向量，则在方向上的投影向量的坐标． 17.本小题分 如图，在正方体中，棱长为，为的中点，． 求证：平面； 求证：平面； 求三棱锥的体积． 18.本小题分 如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点． 证明：平面； 证明：． 19.本小题分 已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，． Ⅰ求角的大小； Ⅱ已知是的中线，求的最小值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：， ，且，， ， 当时，当且仅当时，，与已知矛盾． 当时，当且仅当时，，解得 当时，当且仅当时，，解得，与矛盾 综上所述，． 16解：若， 则． 在方向上的投影向量的坐标为． 17.证明：在正方体中，平面， 又平面，， ，，，平面， 平面； 证明：连接， 在正方体中，且， 四边形是平行四边形， 且， ，分别为，中点， ， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面； 由得平面， 点到平面的距离即为点到平面的距离， 由等体积法可得，． 18.证明：连接， 因为，，是中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为， ... ...
