2024-2025学年云南省昭通一中教研联盟高一下学期期中质量检测 数学试卷（A卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数满足，则的虚部为 A. B. C. D. 2.已知向量，，若，则实数 A. B. C. D. 3.已知在中，，，，则 A. B. 或 C. D. 或 4.圆锥的底面半径为，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是( ) A. B. C. D. 5.在中，，，，则 A. B. C. D. 6.朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉．其著作四元玉鉴是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价．四元玉鉴下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何？”大意为现有一个直径为的球，从上面截一小部分，截面圆周长为，问被截取部分几何体的高为多少？已知朱世杰是以圆周率为来计算，则四元玉鉴中此题答案为注： A. B. C. D. 7.在中，角，，所对的边分别为，，，表示的面积，若，，则等于 A. B. C. D. 8.如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段，上一动点，则的范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数，，且，则下列命题一定成立的有 A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则是纯虚数 D. 10.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是 A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 11.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是 A. 若，则 B. 在中，若，则必是等腰直角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若向量，满足，，则在上的投影向量是_____． 13.锐角的内角，，的对边分别为，，，，则的取值范围为_____． 14.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为，则该二十四等边体的表面积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，． 是线段上靠近的三等分点，求点的坐标； 若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16.本小题分 在中，角，，的对边分别为，，，已知． 求角； 若，，求的面积． 17.本小题分 如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，是线段的中点，是线段上的动点． 与所成的角是否为定值，试说明理由； 若，求四面体的体积． 18.本小题分 已知在中，，，分别为边，上的点，且，． 若，用向量方法求证：； 若，求边上的中线的长． 19.本小题分 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，角的运算均采用弧度制 若，求四棱柱在各个顶点处的离散曲率的和； 若与平面的夹角的正弦值为，求四棱柱在顶点处的离散曲率； 截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为，与平面交于点，证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：设，则， 故， 得 ． 由题意， 又因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线，则 解得 则的取值范围为 16.解：在中，因为，可得． 因为，由正弦定理得，． 由，所以 ... ...
