第五章 5.2 5.2.1 A 组·基础自测 一、选择题 1．下列结论不正确的是( D ) A．若y＝0，则y′＝0 B．若y＝5x，则y′＝5 C．若y＝x－1，则y′＝－x－2 D．若y＝x，则y′＝x [答案] D [解析] 当y＝x时，y′＝(x)′＝()′＝＝x－.D不正确．故应选D． 2．若y＝cos，则y′＝( C ) A．－ B．－ C．0 D． [答案] C [解析] 常数函数的导数为0. 3．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度是( B ) A． B． C． D． [答案] B [解析] s′＝(t)′＝t－， ∴当t＝4时，速度为s′＝·4－＝.故选B. 4．曲线f(x)＝在点P处的切线的倾斜角为π，则点P的坐标为( D ) A．(1,1) B．(－1，－1) C． D．(1,1)和(－1，－1) [答案] D [解析] 切线的斜率k＝tan π＝－1， 设切点P的坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝－1. 又∵f ′(x)＝－，∴－＝－1，解得x0＝1或－1， ∴切点P的坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D． 5．设函数f(x)＝－x3＋3，则曲线y＝f(x)在点(3，－6)处的切线方程为( D ) A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19 C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21 [答案] D [解析] 因为函数f(x)＝－x3＋3，所以f ′(x)＝－x2，所以f ′(3)＝－9，所以曲线y＝f(x)在点(3，－6)处的切线方程为y＋6＝－9(x－3)，即y＝－9x＋21，故选D． 二、填空题 6．函数f(x)＝，则f ′(x)＝_____，f ′＝_____. [答案] x－ [解析] 因为f(x)＝＝x， 所以f ′(x)＝x－. f ′＝×－ ＝×－2＝. 7．曲线y＝cos x在x＝处的切线方程为_____. [答案] x＋y－＝0 [解析] 因为cos＝0，即求曲线y＝cos x，在点处的切线方程， y′＝－sin x，当x＝时，y′＝－1. 所以切线方程为y＝－1·， 即x＋y－＝0. 8．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为_____，切线的斜率为_____. [答案] (1，e) e [解析] 设切点的坐标为(x0，y0)．由y ′＝ex，得y ′|x＝x0＝ex0.过点(x0，y0)的曲线的切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，此直线过原点，所以0－ex0＝ex0(0－x0)，解得x0＝1.所以切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e. 三、解答题 9．求下列函数的导数： (1)y＝x； (2)y＝； (3)y＝(1－)＋； (4)y＝(x＋1)(x－1)＋1. [解析] (1)y ′＝x－. (2)y ′＝′＝x－. (3)y＝＋＝， ∴y ′＝－x－. (4)y＝x3－1＋1＝x3， ∴y ′＝3x2. 10．已知点P在曲线y＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线． (1)求a的值； (2)求过点P与直线l垂直的直线方程． [解析] (1)因为P在曲线y＝cos x上，所以a＝cos＝. (2)因为y′＝－sin x， 所以kl＝y′|x＝＝－sin＝－. 又因为所求直线与直线l垂直， 所以所求直线的斜率为－＝， 所以所求直线方程为y－＝， 即y＝x－＋. B 组·素养提升 一、选择题 1．(多选题)下列各式正确的是( ) A．′＝cos B．(cos x)′＝－sin x C．()′＝ D．(logax)′＝ [答案] BC [解析] 对于A，′＝0，A错误，B显然正确；对于C，()′＝(x)′＝x－＝，C正确；对于D，(logax)′＝，D错误．故选BC． 2．(多选题)函数y＝在点P处的切线斜率为－4，则P的坐标为( ) A． B． C． D． [答案] AC [解析] ∵y＝， ∴y′＝－， ∵曲线y＝在点P的切线的斜率为－4， ∴－＝－4， ∴x＝±， ∴y＝±2. 即点P或，故选AC． 3．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( ) A．∪ B．[0，π) C． D．∪ [答案] A [解析] 因为y′＝cos x，而cos x∈[－1,1]．所以直线l的斜率的范围是[－1,1]，所以直线l倾斜角的范围是∪. 二、填空题 4．若曲线y＝ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是_____. [答案] [解析] 由题意得y′＝， 直线2x－y＋1＝0的斜率为2. 设P(m，n)， 则＝2，解得m＝，n＝－ln 2， 所以点P的坐标为. 5 ... ...
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