【三轮冲刺】专题09 圆综合解答压轴题（浙江专用）-2025年浙江数学中考预测专项突破（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025年浙江数学中考预测专项突破 专题09 圆综合解答压轴题（浙江专用） 2024年浙江中考数学真题圆综合解答题压轴题 解答题第24道：圆的综合题型出现在每年中考试卷中压轴题的位置，此题型往往结合全等三角形、相似三角形、平行四边形以及特殊平行四边进行考查，有时也会混入函数，以函数为桥梁进行考查，难度较大，综合性极强，需要考生在熟练使用基础知识和题型的前提下，进行培优提高。 题型一：圆与三角形综合（高频考点） 1．（2025·浙江绍兴·一模）如图，在中，直径，，是的切线，点为切点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，线段交于点，连结，若，求的长； (3)如图3，线段交于点，连结，若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)3(3) 【分析】（1）由是的直径，且，可知是的切线．根据切线长定理可得． （2）连结， 根据可得，则，又由及可得，进而可得，根据三角函数可求出，进而可得． （3）连结，，，，易得，则可得．由同角的余角相等可得，又由圆周角定理及可得，进而可得．易得，则可求得，再根据勾股定理求出的长为，再根据，求出的长，进而可得的长． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴是的切线． 又∵是的切线， ∴． （2）解：如图，连结， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，连结，，，， ∵，且， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·浙江·模拟预测）在中，直径与弦相交于点，连结． (1)如图1，求证：为等腰三角形． (2)如图2，连结为的中点，连结，交于点．若，求的值． (3)在（2）的条件下，如图3，连结，交于点，连结．求证：． 【答案】(1)证明见解析(2)3(3)证明见解析 【分析】（1）设，则，先根据圆周角定理可得，，从而可得，再根据圆周角定理可得，根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先解直角三角形可得，再根据弧与圆周角的关系可得，从而可得，则，然后根据正切的定义求解即可得； （3）过点作于点，先根据垂径定理可得垂直平分，再根据等腰三角形的三线合一可得，根据三角形的中位线定理可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得证． 【详解】（1）证明：设，则， 由圆周角定理得：， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴（圆周角定理），， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵是的直径， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． （3）证明：如图，过点作于点， 由（1）已证：， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∵为的中点， ∴垂直平分，， ∴点是的中点，， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴是的中位线， ∴， ∵是的直径，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，已知△ABC内接于，，过圆心作，交于点，交于点，射线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若直线与直线交于点，且，求的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)的度数为或． 【分析】（）连接，，设与交于点，由，，得，，垂直平分，所以，，设，然后由外角性质和角度和差即可求解； （）连接，由勾股定理得，，然后证明，则，从而求出，再由勾股定理得，再通过垂径定理得，再通过圆内接四边形和平角定义证明，则，然后代入求值即可； （）分当在线段上时和当在延长线上时两种情况分析即可 【详解】（1）解：连接，，设与交于点， ∵，， ∴，，垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（）得：，， ∴， ∴， ... ...