2025年湖南省永州市高考数学三模试卷（含答案）

2025年湖南省永州市高考数学三模试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.若复数满足，则在复平面内对应的点为( ) A. B. C. D. 3.已知为等差数列的前项和，且，，则( ) A. B. C. D. 4.已知，则的值为( ) A. B. C. D. 5.的展开式的第项的系数为( ) A. B. C. D. 6.已知椭圆：，点，若直线与椭圆交于，两点，则的周长为( ) A. B. C. D. 7.若函数在区间上单调递增，则实数的最小值为( ) A. B. C. D. 8.如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法中，正确的有( ) A. 具有相关关系的两个变量，的相关系数越大，则，之间的线性相关程度越强 B. 已知随机变量服从正态分布，且，则 C. 数据，，，，，的第百分位数是 D. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 10.已知函数，则( ) A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 曲线关于直线对称 D. 11.已知平面内动点到定点的距离与到定直线：的距离之和等于，其轨迹为曲线，则下列结论正确的是( ) A. 若，则点的轨迹是以为焦点的抛物线的一部分 B. 点横坐标的取值范围是 C. 若过点的直线与曲线的部分图象和部分图象分别交于，，则 D. 对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数是偶函数，则 _____． 13.已知直线与圆：交于，两点，且，则 _____． 14.已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的，所有侧棱长均为，当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，内角，，所对的边分别为，，且． 求的值； 若，，求的面积． 16.本小题分 某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示： 等级 不及格 及格 良 优 分数 人数 若从样本中随机选取位学生，求所选的位学生分数不同的概率； 用样本估计总体，以频率代替概率，若从高三年级学生中随机抽取位学生，记所选学生分数不小于的人数为． 若，求的分布列与数学期望； 若，当为何值时，最大？ 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为的等边三角形，为的中点． 证明：； 若直线与的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 18.本小题分 已知双曲线：的虚轴长为，离心率为． 求双曲线的标准方程； 过点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点，直线与直线交于点． 证明：直线的斜率为定值； 记，分别为，的面积，求的取值范围． 19.本小题分 已知函数，且有唯一零点． 证明：； 证明：； 判断数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：因为， 由余弦定理得， 所以，所以， 所以，所以， 因为，所以； 因为， 由正弦定理得，所以， 因为， 所以， 则的面积为． 16.解：设事件“选取的位学生分数不同”，则， 故所选的位学生分数不同的概率为； 设“学生分数不小于”，则， 若，的可能取值为，，，，由题意可得，又，，， 所以的分布列为： 由于，则； 若，则所以． 由于最大， 所以， 即，因为， ，所以时，最大． 17.证明：取的中点，连接，，， 因为是等边三角形，所以， 在菱形中，，所以是等边三角形， 所以， 又，、平面， ... ...