专题 6.10 平面向量及其应用全章十二大压轴题型归纳（拔尖篇） 【人教 A 版（2019）】 题型 1 利用向量关系研究几何图形的性质 → → → → 1．（23-24 高一下·辽宁抚顺·开学考试）若四边形 中 = ，| | = | |，且| | = | |，则对该 四边形形状的说法中错误的是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【解题思路】根据向量条件可判断四边形 为正方形，据此判断各选项. 【解答过程】四边形 中 = ，则其为平行四边形， 若同时满足| | = | |，即邻边相等，就是菱形， 最后| | = | |，即对角线相等，就满足了矩形的条件. 于是三项都满足的四边形为正方形，故 A，B，D 正确，C 错误. 故选：C. 2．（24-25 高一下·天津和平·阶段练习）如图所示，四边形 ABCD，CEFG，CGHD 是全等的菱形，则下列 结论中不一定成立的是（ ） A．| | = | | B． 与 共线 C． 与 共线 D． = 【解题思路】利用菱形的性质及向量的定义逐一判断即可. 【解答过程】 ∵ 四边形 ABCD，CEFG，CGHD 是全等的菱形， ∴ ∠ + ∠ = 180 ，即 , , 三点共线， ∴ = , = ， // // // ， 即| | = | |， = ， 与 共线，ABD 正确； 对于 C：若 与 共线，则必有∠ = ∠ ，即∠ = 2∠ = 2∠ ，该条件不一定成立， 如∠ = 90 时，∠ ≠ 45 ，故 与 共线不一定成立， 故选：C. 3．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，已知在四边形 中，M，N 分别是 ， 的中点，又 = // .求证： = . // 【解题思路】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出 = . 【解答过程】证明：由 = 可知 = 且 // ， 所以四边形 为平行四边形， 从而 = . 又 M，N 分别是 ， 的中点，于是 = . 所以 = 且 // . 所以四边形 是平行四边形. // 从而 = . 4．（24-25 高一·全国·课后作业）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，且 = ， = ．求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 【解题思路】由 = ， = 可得 AC、BD 互相平分，利用平行四边形的判定定理即可证明. 【解答过程】因为四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，且 = ， = ． 所以四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 互相平分， 所以四边形 ABCD 是平行四边形． 即证. 题型 2 向量共线定理及其应用 1．（23-24 高一下·广东深圳·期中）已知 = +5 ， = 2 +8 ， = 2 +10 ，则共线的三点为 （ ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D A = 2 = 2 【解题思路】 选项，设 ，则 8 = 10 ，无解，不满足共线定理，A 错误；BC 选项，方法同 A，得到 BC 错误；D 选项，计算出 = 12 ，D 正确. 【解答过程】A 选项， = 2 +8 ， = 2 +10 ， 令 = 2 = 2 ，则 8 = 10 ，无解，不满足共线定理，A 错误； B 选项， = +5 ， = 2 +8 ， 令 = 1 = 2 ，则 5 = 8 ，无解，不满足共线定理，B 错误； C 选项， = + = +5 2 +8 = +13 ， = + = +5 +2 +10 = 3 +15 ， = 1 = 3 令 ，则 13 = 15 ，无解， ∴ ， 不满足共线定理，C 错误； D 选项， = +5 = 1 = 12 2 + 10 2 ，故 , , 三点共线，D 正确． 故选：D. 2．（23-24 高一下·山东潍坊·期中）已知 ， 是平面内两个不共线向量， = +2 ， = 3 ，A， B，C 三点共线，则 m＝（ ） A 2 B 2． 3 ．3 C． 6 D．6 【解题思路】利用共线向量定理列式计算即得. 【解答过程】由 A，B，C 三点共线，得 ， 共线， 设 = ，而 = +2 ， = 3 ， 则 +2 = (3 )，又 ， 是平面内两个不共线向量，因此 = 3 ， = 2， 所以 = 6. 故选：C. 3．（23-24 高一下·全国·课堂例题）已知 1、 2是两个不平行的向量，向量 = 3 1 2 2， = 2 1 +4 2， = 2 1 4 2， (1)求证： // ； (2)判断 、 、 三点的位置关系. 【解题思路】（1）求出 ，找到使 = 成立的 即可证明； （2）根据 // 可知 、 、 ... ...
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