专题6.5 平面向量的应用【七大题型】（举一反三）（含答案）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题 6.5 平面向量的应用【七大题型】 【人教 A 版（2019）】 【题型 1 用向量证明平面几何中的平行问题】 ....................................................................................................1 【题型 2 用向量证明平面几何中的垂直问题】 ....................................................................................................4 【题型 3 用向量解决夹角问题】 ............................................................................................................................8 【题型 4 用向量解决线段的长度问题】 ..............................................................................................................11 【题型 5 向量与几何最值】 ..................................................................................................................................15 【题型 6 向量在几何中的其他应用】 ..................................................................................................................19 【题型 7 向量在物理中的应用】 ..........................................................................................................................22 【知识点 1 平面几何中的向量方法】 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： ∥ = - =0 ( ≠0). ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直 的条件： =0 + =0. ③求夹角问题，利用夹角公式： = = . ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：| |= 或|AB|=| |= . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转 化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【题型 1 用向量证明平面几何中的平行问题】 【例 1】（24-25 高一·上海·课堂例题）如图，已知 , 是平行四边形 的对角线 上的两点，且 = ，求证：四边形 是平行四边形． 【解题思路】设 = , = ， = (0 < < 1)，根据平面向量共线定理证明即可． 【解答过程】证明：设 = , = ，则 = + ，设 = (0 < < 1)， 所以 = + = ， 所以 = + = + + = (1 ) + (1 ) ， = = + = ( 1) + ， = = (1 ) (1 ) = ( 1) + ， 所以 = ， 所以四边形 是平行四边形． 【变式 1-1】（23-24 高一·上海·课堂例题）如图，已知 △ ，D、E 分别是 AB、AC 的中点，求证； ∥ ． 【解题思路】用 , 表示 , ，然后由共线向量定理即可证明. 【解答过程】 = ， 因为 D、E 分别是 AB、AC 的中点，所以 = 2 ， = 2 , 所以 = = 2 2 = 2 , 所以 ∥ ，因为 , , , 不在一条线上， 所以 ∥ . 【变式 1-2】（23-24 高一下·河北保定·期中）已知 > 0, > 0，如图，在 △ 中，点 , 满足 = ， = , 1是线段 上一点， = 3 ，点 为 的中点，且 , , 三点共线． (1)求3 + 6 的最小值． (2)若点 满足2 = + ，证明： // ． 1 1 1 1 【解题思路】（1）根据向量的线性运算可得 = 3 + 6 ，根据 , , 三点共线可得3 + 6 = 1，利 用“1”的代换可求3 + 6 的最小值. 2 1（ ）根据向量的线性运 ... ...