专题6.6 解三角形【十大题型】（举一反三）（含答案）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题 6.6 解三角形【十大题型】 【人教 A 版（2019）】 【题型 1 余弦定理边角互化的应用】 ....................................................................................................................4 【题型 2 余弦定理解三角形】 ................................................................................................................................5 【题型 3 正弦定理边角互化的应用】 ....................................................................................................................5 【题型 4 正弦定理解三角形】 ................................................................................................................................6 【题型 5 正弦定理判定三角形解的个数】 ............................................................................................................6 【题型 6 正、余弦定理判定三角形形状】 ............................................................................................................7 【题型 7 三角形面积公式的应用】 ........................................................................................................................7 【题型 8 正、余弦定理在几何图形中的应用】 ....................................................................................................8 【题型 9 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 ............................................................................................9 【题型 10 距离、高度、角度测量问题】 ............................................................................................................12 【知识点 1 余弦定理、正弦定理】 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它 文字表述 们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式： + - =2bc A， + - =2ac B， + - =2ab C. 2．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC 中，若角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即 = = . (2)正弦定理的常见变形 在△ABC 中，由正弦定理得 = = =k(k>0)，则 a=k A，b=k B，c=k C，由此可得 正弦定理的下列变形： ① = ， = ， = ，a B=b A，a C=c A，b C=c B； ② = = = = = = ； ③a:b:c= A: B: C； ④ = = =2R，（R 为△ABC 外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 3．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式 = = 反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该 ... ...