专题6.7 平面向量的综合应用大题专项训练【七大题型】（举一反三）（含答案）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题 6.7 平面向量的综合应用大题专项训练【七大题型】 【人教 A 版（2019）】 姓名：_____班级：_____考号：_____ 题型一 向量坐标的线性运算解决几何问题 1．（24-25 高一下·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系 中，点 ( 1,2)， (1,1)，记 = ， = ． (1)设 在 上的投影向量为 （ 是与 同向的单位向量），求 的值； (2)若四边形 为平行四边形，求点 C 的坐标． 【解题思路】（1）根据投影向量的定义，即可求解； （2）根据平行四边形的性质，得到 = ，转化为坐标运算，即可求解. 【解答过程】（1）设 与 的夹角为 ， = cos = = 1×1+2×1 则 | | | | | | | | = = 2 1+1 ．| | 2 （2）设点 ( , )，因为四边形 为平行四边形，所以 = ． 又 = ( 1,2)， = (1 ,1 )， 1 = 1 = 2 所以 1 = 2 ，解得 = 1 ． 故 (2, 1)． 2．（24-25 高一上·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系 中，| | = 2| | = 2 ∠ = 2 ， 3 ， = ( 1, 3). （1）求点 ，点 的坐标； （2）求四边形 的面积. 【解题思路】（1）设 ( , )，根据题中条件，得到 = 2 + cos 2 ， = sin 2 ，再由向量的3 3 坐标表示，根据 = ( 1, 3)，即可求出点 的坐标； （2）先用向量的方法，证明四边形 为等腰梯形；连接 ，延长 交 轴于点 ， 得到 △ ， △ 均为等边三角形，进而可求出四边形面积. 【解答过程】（1）在平面直角坐标系 中，| | = 2| | = 2，所以 (2,0)， 又∠ = 2 3 ，设 ( , )， 则 = 2 + cos 5 2 = 2， = sin 2 = 3， 3 3 2 5所以点 , 3 ； 2 2 又 = ( 1, 3)，所以 = + = 1 + 5 , 3 + 3 = 3 , 3 3 ， 2 2 2 2 3即点 , 3 3 ； 2 2 2 1 3 1（ ）由（ ）可得， = , 3 3 ， = , 3 ， 2 2 2 2 所以 = 3 ，即 // ； 又| | = 1 + 3 = 2 = | |， 所以四边形 为等腰梯形； 连接 ，延长 交 轴于点 ，则 △ ， △ 均为等边三角形. ∴ = = 3 2 3 2△ △ 3 1 = 24 4 3. 3．（23-24 高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形 中， ⊥ ， ∥ ， = = 1， = 2， ， 分别为 ， 的中点，点 在以 为圆心的圆弧 上运动，若 = + ，求2 的取值范围． 【解题思路】设 (cos ,sin ), ∈ 0, ，根据 = + 得出2 = sin cos = 2sin ，最后 2 4 由正弦函数的性质得出2 的取值范围 【解答过程】设 (cos ,sin ), ∈ 0, ， (1,0), (0,1), 3 , 1 2 2 2 则 = (cos ,sin ), = 3 , 1 , = ( 1,1) 2 2 因为 = + ，所以(cos ,sin ) = + 3 , + 1 2 2 + 3 = cos 2 = 3sin 1cos = 1 1即 + 1 ，解得 ， sin + cos = sin 4 4 2 2 2 所以2 = sin cos = 2sin 4 ∈ , 因为 4 ，所以sin ∈ 2 , 2 4 4 4 2 2 即2 ∈ [ 1,1]. 4．（24-25 高一·湖南·课后作业）如图，已知 A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段 AB 的中点 M 的坐标； (2)若点 P 是线段 AB 的一个三等分点，求点 P 的坐标． 【解题思路】（1）根据中点坐标公式进行求解即可； （2）根据平面共线向量的性质进行求解即可. 【解答过程】（1）设 ( , )， 因为 A（－2，1），B（1，3）， = 2+1 = 1, = 1+3 1所以 2 2 2 = 2，即 ( 2,2)； （2）设 ( , )， 1 = 1 1 + 2 = × 3 = 1 当 3 时，有( + 2, 1) = 3 5 3(3,2) 1 = ( 1, 5 3)； 1 = × 2 3 3 + 2 = 2 × 3 = 0 当 = 23 时，有( + 2, 1) = 2 3(3,2) 3 7 1 = 2 × 2 = 7 (0,3). 3 3 5．（24-25 高一下·湖北十堰·阶段练习）某公园有三个警卫室 A B C，互相之间均有直道相连， = 2千米， = 2 3千米， = 4千米，保安甲沿 CB 从警卫室 C 出发前往警卫室 B，同时保安乙沿 BA 从警卫室 B 出 发前往警卫室 A，甲的速度为 2 千米/小时，乙的速度为 1 千米/小时. (1)保安甲从 C 出发 1.5 小时后达点 D，若 = + ，求实数 x y 的值； (2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过 2 千米，试 ... ...