专题6.8 解三角形的综合应用大题专项训练【七大题型】（举一反三）（含答案）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题 6.8 解三角形的综合应用大题专项训练【七大题型】 【人教 A 版（2019）】 姓名：_____班级：_____考号：_____ 题型一 正、余弦定理判定三角形形状 1．（23-24 高一下·北京通州·期末）在△ 中，角 , , 所对的边为 , , ，△ 的面积为 S，且 = 2+ 2 2 4 ． (1)求角 ； (2)若 = 2 cos ，试判断△ 的形状，并说明理由． 【解题思路】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角； π （2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出 = 2 ，结合 = 4判断三角形形状即可. 2 1 △ = + 2 2 1 【解答过程】（ ）在 中，因为 4 ，则2 sin = 2 cos 4 ， π 整理得tan = 1，且 ∈ 0, π ，所以 = 2 4 . （2）由正弦定理得sin sin = 2sin cos , ∵ sin = sin( + ) = sin cos + cos sin , ∴ sin cos + cos sin sin = 2sin cos , ∴ sin cos cos sin = sin , 于是sin( ) = sin , 又 , ∈ (0,π)，故 π < < π，所以 = π ( )或 = ，因此 = π（舍去）或 = 2 ，所以 = 2 . π π π ∵ = 4 , ∴ = 2 , = 4 , △ 是等腰直角三角形. 2．（2025 高一·全国·专题练习）已知 △ 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 = (cos cos )．判断 △ 的形状. 【解题思路】 先根据题目条件和正弦定理边化角得出sin sin = sin (cos cos )；再利用 + + = π及两角和的正 弦公式得出cos (sin sin ) = 0，进而可判断 △ 的形状. 【解答过程】 △ 为等腰三角形或直角三角形. 证明如下： 由 = (cos cos )及正弦定理得: sin sin = sin (cos cos )， 即sin( + ) sin( + ) = sin (cos cos )， 即sin cos + cos sin sin cos cos sin = sin cos sin cos ， 整理得:sin cos sin cos = 0， 所以cos (sin sin ) = 0， 故sin = sin 或cos = 0， 又因为 A、B、C 为 △ 的内角， π 所以 = 或 = 2， 因此 △ 为等腰三角形或直角三角形． 3．（23-24 高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知 △ 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ( + + )( + ) = 3 . (1)求角 的大小； (2)若 + = 2 ，试判断 △ 的形状. 【解题思路】（1）利用余弦定理求出cos 的值，结合角 的取值范围可得出角 的值； （2）利用余弦定理结合已知条件可得出 = ，利用（1）中的结果可判断出 △ 的形状. 【解答过程】（1）因为( + + )( + ) = 3 ，则( + )2 2 = 3 ，整理可得 2 + 2 2 = ， 2+ 2 2 1 由余弦定理可得cos = 2 = 2 = 2， π 又因为 ∈ (0,π)，故 = 3. （2）因为 + = 2 = + ，则 2 ， 由余弦定可得 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ， + 2 即 = 2 + 2 2 ，整理可得( ) 2 = 0，则 = ， π 又 = 3，故 △ 为等边三角形. 4．（24-25 高一·上海·假期作业）（1）在 △ 中，若( cos )sin = ( cos )sin ,判断 △ 的形 状； （2）在 △ 中，若 =60 ， 2 = ，判断 △ 的形状； （3）在 △ 中，若lgsin lgcos lgsin = lg2，判断 △ 的形状. 【解题思路】（1）利用正弦定理及余弦定理化角为边，即可判断形状； （2）利用余弦定理进行判断即可； （3）利用正弦定理及余弦定理化角为边，即可判断形状. 2 2 2 2 2 2 【解答过程】（1）结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为 + = + ， 2 2 整理，得( 2 + 2 2)( 2 2) = 0，所以 2 + 2 2 = 0或 2 2 = 0， 当 2 + 2 2 = 0时， 2 + 2 = 2，为直角三角形； 当 2 2 = 0时， = ，为直角三角形； 故三角形为等腰三角形或直角三角形. （2）因为 2 = , =60 ，由余弦定理 2= 2+ 2 2 cos ， 得 2 + 2 = ，即( )2 = 0，所以 = . 又 =60 ，所以 △ 为等边三角形； （3 sin ）由条件得cos sin = 2,即sin = 2cos sin , 2+ 2 2 由正、余弦定理，得2 × 2 × = ，所以 = . 故 △ 为等腰三角形. 5．（24-25 高一下·北京·阶段练习）在 △ 中，2sin22 + cos( + ) = 0． ( ... ...