专题 7.5 复数全章十大基础题型归纳（基础篇） 【人教 A 版（2019）】 题型 1 复数的分类及辨析 1．（24-25 高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（ ） A．如果实数 = ，那么 + ( + )i是纯虚数． B．实数是复数． C．如果 = 0，那么 = + i是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【解题思路】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解. 【解答过程】对于 A 中，若 = = 0，那么 + ( + )i = 0 ∈ R，所以 A 错误； 对于 B 中，由复数的概念，可得实数是复数，所以 B 正确； 对于 C 中，若 = 0且 = 0时，复数 = + i = 0 ∈ R，所以 C 不正确； 对于 D 中，由虚数单位i2 = 1，可得 D 错误. 故选：B. 2．（23-24 高一下·上海浦东新·期中）下列命题一定成立的是（ ） A．若 ∈ C，则 2 ≥ 0 B．若 , , ∈ C,( )2 + ( )2 = 0，则 = = C．若 ∈ R，则( + 2)i是纯虚数 D．若 , ∈ C, > 0且 > 0，则 > 0且 + > 0 【解题思路】根据复数的概念和性质逐项进行检验即可判断. 【解答过程】对于A，当 = i时， 2 = 1 < 0，故选项A错误； 对于B，当 = i, = 1时，( )2 + ( )2 = 0，但 , , 并不相等，故选项B错误； 对于C，若 + 2 = 0，则( + 2)i并不是纯虚数，故选项C错误； 对于D，因为 , ∈ C, > 0且 > 0，所以 , 为正实数，则 > 0且 + > 0，故选项D正确， 故选：D. 3．（24-25 高一·上海·课堂例题）在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和 虚部分别是什么？ π π 5 + 6i、 2 + 2i、 3、i、0、cos5 + isin2 2 5． 【解题思路】直接利用复数的基本概念逐一分析得答案． 【解答过程】 3、0 是实数， 3的实部为 3，虚部为 0；0 的实部与虚部均为 0． π π 5 + 6i、 2 + 2i、cos5 + isin5、i是虚数；i 为纯虚数.2 2 5 + 6i的实部为 5，虚部为 6； 2 + 2 π π π π i的实部与虚部均为 2；cos5 + isin5的实部为cos5，虚部为sin5；i的2 2 2 实部为 0，虚部为 1． 4．（24-25 高一下·上海·课后作业）若 = ( 2 3 + 2) + ( 2 2)i( ∈ )为实数，求出复数 1 = ( 2 5 + 6) + ( + 1)i，并判断复数 1是实数还是虚数，若是虚数，是纯虚数吗？ 【解题思路】根据复数的分类解出 m，再将 m 代入 z1即可得到答案. 【解答过程】因为 = ( 2 3 + 2) + ( 2 2)i( ∈ )为实数，所以 2 2 = 0 = 1或 m=2. = 2时， 1 = 13i，是虚数，且是纯虚数； = 1时， 1 = 12，是实数. 题型 2 已知复数的类型求参数 1．（23-24 高一下·福建福州·期末）若( 2 4) + ( 2 +3 + 2)i是纯虚数，则实数 = （ ） A． ± 2 B． 2 C．2 D． 1 【解题思路】根据纯虚数的定义，列出方程组，求解即可. ( 2 4) + ( 2 +3 + 2)i 2 4 = 0 【解答过程】因为 是纯虚数，所以 2 + 3 + 2 ≠ 0 ，解得： = 2， 故选：C. 2．（23-24 高一下·安徽安庆·期末）已知 a，b 均为实数，复数： = 2 + ( 2 )i，其中 i 为虚数单位， 若 < 3，则 a 的取值范围为（ ） A．( 1,3) B．( ∞, 1) ∪ (3, + ∞) C．( ∞, 3) ∪ (1, + ∞) D．( 3,1) 【解题思路】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可. = 2 + ( 2 )i < 3 2 = 0【解答过程】由题 ，所以 为实数，即 2 < 3 ， 则有 2 2 3 < 0，解得 1 < < 3，即 a 的取值范围为( 1,3). 故选：A. 3．（23-24 高一下·甘肃定西·期末）已知复数 = 2 +6 7 + ( 2 )i． (1)若复数 是纯虚数，求实数 的值； (2)当非零复数 的实部和虚部互为相反数时，求实数 的值． 【解题思路】（1）由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案； （2）由条件可得 2 +6 7 + 2 = 0可得答案. 2 【解答过程】（1）由复数 = 2 +6 7 + ( 2 )i + 6 7 = 0是纯虚数，得 2 ≠ 0 ，解得 = 7； （2）由复数 的实部和虚部互为相反数，得 2 +6 7 ... ...
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