专题7.4 复数运算的综合应用大题专项训练【五大题型】（举一反三）（含答案）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题 7.4 复数运算的综合应用大题专项训练【五大题型】 【人教 A 版（2019）】 姓名：_____班级：_____考号：_____ 题型一 复数的四则运算 1．（23-24 高一下·河南郑州·期中）已知复数 满足 = 4且 + + | | = 0． (1)求复数 ； (2)求 3． 【解题思路】（1）设复数 = + i， 、 ∈ R，由共轭复数的概念、复数的模长公式结合题意列方程组求 解即可； （2）根据（1）中 的值，利用复数的乘法法则计算求 3即可． 【解答过程】（1）设复数 = + i， 、 ∈ R，则 = i， + = 2 ,| | = 2 + 2， 2 + 2 = 4 由 = 4且 + + | | = 0，得 2 + 2 + 2 = 0 ， = 1 解方程得 =± 3 ，所以复数 = 1 + 3i或 = 1 3i； 2 （2）当 = 1 + 3i时， 3 = ( 1 + 3i) × ( 1 + 3i) = ( 2 2 3i) × ( 1 + 3i) = 2 2(1 + 3i) × ( 1 + 3i) = 2 ( 3i) ( 1)2 = 2 × ( 3 1) = 8； 2 当 = 1 3i时， 3 = ( 1 3i) × ( 1 3i) = ( 2 + 2 3i) × ( 1 3i) = 2 2(1 3i)(1 + 3i) = 2 (1)2 ( 3i) = 2 × (1 + 3) = 8， 综上， 3 = 8． 2．（23-24 高一下·河南商丘·期中）已知复数 1 = 4 + i( ∈ )，且 1 (1 2i)为纯虚数. (1)求复数 1； 1 (2)若 2 = (1 i)2，求复数 2及| 2|. 【解题思路】（1）根据 1 = 4 + i( ∈ )和 1 (1 2i)为纯虚数列关于 的方程组求解 ，求出复数 1； （2）求出 1，求出 2，求出 2，求出| 2|. 【解答过程】（1）由 1 = 4 + i( ∈ )，所以(4 + i) (1 2i) = 4 + 2 + ( 8)i， (1 2i) 4 + 2 = 0又 1 为纯虚数，所以 8 ≠ 0 ， 解得 = 2，所以复数 1 = 4 2i； 4+2i (4+2i) 2i （2）由（1）知 1 = 4 + 2i 4+2i ，所以 2 = (1 i)2 = 2i = ( 2i) 2i = 1 + 2i， 故 2 = 1 2i，| 2| = ( 1)2 + 22 = 5. 3．（24-25 高一·上海·课堂例题）计算： (1)(4 + i)(3 + 2i)； (2)( 2 + 3i)( 2 3i)( 3 + 2i)( 3 2i)； (3) 3+29i1+2i ； (4)(1+i) 4 + (1 i) 4 1+2i 1 2i ； 2 (5) ( 3 + 1) + ( 3 1)i ． 【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）根据复数的乘除法运算即可. 【解答过程】（1）(4 + i)(3 + 2i) = 12 + 8i +3i +2i2 = 10 + 11i. （2）( 2 + 3i)( 2 3i)( 3 + 2i)( 3 2i) = (2 3i2)(3 2i2) = 25. 3 3+29i ( 3+29i)(1 2i) 2 （ ） 1+2i = 3+6i+29i 58i (1+2i)(1 2i) = 5 = 11 + 7i. 4 (1+i) 4 + (1 i) 4 4 4(1 2i) 4(1+2i) （ ） 1+2i 1 2i = 1+2i + 4 8 1 2i = (1+2i)(1 2i) + (1 2i)(1+2i) = 5. 2 2 2 （5）[( 3 + 1) + ( 3 1)i] = ( 3 + 1) +2( 3 +1)( 3 1)i + ( 3 1) i2 = 4 + 2 3 +4i (4 2 3) = 4 3 +4i. 4．（23-24 高一下·山西大同·期中）已知复数 满足 (1 3i)为纯虚数， = 2i． (1)求 以及 ； 3 (2) + i设 1 = +3 ，若| 1| = 2 2，求实数 的值． 【解题思路】（1）设复数 的代数形式，利用复数的乘法运算化简，根据纯虚数概念求解； （2）利用复数的乘除、乘方化简，再由模的公式建立方程求解 . 【解答过程】（1）设 = + i( , ∈ )，则 = i， 由 (1 3i) = ( + i)(1 3i) = ( + 3 ) + ( 3 )i为纯虚数， 得 + 3 = 0①，且 3 ≠ 0， 由 = 2 i = 2i，得 2 = 2②， 由①②解得 = 3, = 1，验证知 3 = 10 ≠ 0，满足题意. 所以 = 3 + i, = 3 i. + i3 3+2i ( 3+2i) i （2）由（1）可知， 1 = +3 = i = ( i) i = 2 + ( 3)i， 由| 1| = 2 2，得 ( 2)2 + ( 3)2 = 2 2， 整理，得 2 6 + 5 = 0， 解得 = 1或 = 5. 故实数 的值为 1 或 5. 5．（23-24 1高一下·江苏南京·期中）已知复数 1 = + i, 2 = 1 i, 是纯虚数，其中 是实数.2 (1)求实数 的值; 2 3 2023 (2) 1 1 1 求 1 + + + + .2 2 2 2 【解题思路】（1）化简运用纯虚数概念求解即可； （2）化简，结合i1 = i,i2 = 1,i3 = i,i4 = 1，周期性质即可解题. 1 +i ( +i)(1+i)1 = + i, = 1 i, ∈ R = = ( 1)+(1+ )i 1 1 ... ...