专题8.12 立体几何中必考七类截面、交线问题（举一反三）（含答案）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题 8.12 立体几何中必考七类截面、交线问题 【人教 A 版（2019）】 【类型 1 截面作图】 ................................................................................................................................................2 【类型 2 判断截面图形的形状】 ............................................................................................................................4 【类型 3 球的截面问题】 ........................................................................................................................................7 【类型 4 截面图形的周长或面积问题】 ................................................................................................................8 【类型 5 截面切割几何体的体积、表面积问题】 ..............................................................................................10 【类型 6 交线及其长度、轨迹问题】 ..................................................................................................................12 【类型 7 截面的最值与范围问题】 ......................................................................................................................14 【知识点 1 立体几何中的截面问题】 1．作截面的几种方法 (1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找 交线的过程. (2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点. (3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直 线的平行线找到几何体与截面的交线. 2．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 之间满足关系式： . 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为 R，以 O'为圆心的截面的半径 为 r，OO'=d.则在 Rt△OO'C 中，有 ，即 . 【知识点 2 立体几何中的截面、交线问题的解题策略】 1．立体几何截面问题的求解方法 几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关线、 面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解. 2．截面、交线问题的解题策略 (1)作截面应遵循的三个原则： ①在同一平面上的两点可引直线； ②凡是相交的直线都要画出它们的交点； ③凡是相交的平面都要画出它们的交线. (2)作交线的方法有如下两种： ①利用基本事实 3 作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线. 【类型 1 截面作图】 1．（24-25 高二上·北京·期中）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心 为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 2．（24-25 高一·全国·随堂练习）在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面 都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示的空间图形是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底 面圆 ... ...