专题 8.9 空间角与空间距离大题专项训练【七大题型】 【人教 A 版（2019）】 姓名：_____班级：_____考号：_____ 题型一 异面直线所成的角 1．（24-25 高二上·安徽·开学考试）如图，在直三棱柱 1 1 1中，所有棱长均为 4，D 是 AB 的中点． (1)求证： 1//平面 1 ； (2)求异面直线 1 与 1所成角的正弦值． 【解题思路】（1）连接 1交 1 于 ，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进 行求解即可. 【解答过程】（1）连接 1交 1 于 ， 在直三棱柱 1 1 1中，所有棱长均为 4， 因此四边形 1 1 是正方形，所以 是 1的中点，而 D 是 AB 的中点， 因此有 // 1，而 平面 1 ， 1 平面 1 ， 所以 1//平面 1 ； （2）由（1）可知： // 1， 因此异面直线 1 与 1所成角为∠ 1 （或其补角）， 因为 1 1 1 1 是正方形，所以 1 = 2 22 1 = 2 4 + 4 = 2 2， 在直三棱柱 1 1 1中，所有棱长均为 4， 因此四边形 1 1 1 1 是正方形，因此有 = 1 = 2 22 2 4 + 4 = 2 2， 在直三棱柱 1 1 1中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 1 2 因此有 1 = 1 2 + 2 = 42 + × 4 = 2 5，2 8+20 8 由余弦定理可知：cos∠ 1 = = 102×2 2×2 5 ，4 因此sin∠ 1 = 1 cos2∠ 1 = 1 10 = 6. 16 4 2．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，已知长方体 1 1 1 1中， = = 3， 1 = 4． (1)求证： 1 与 1是异面直线； (2)求异面直线 1 与 1所成角的余弦值． 【解题思路】（1）根据题意结合异面直线的判定定理分析证明； （2）连接 1，分析可知∠ 1 1为异面直线 1 与 1所成的角（或其补角），结合余弦定理运算求解. 【解答过程】（1）因为 1 平面 1 1 ， ∈ 平面 1 1 ， 直线 1 ， 1 平面 1 1 ， 由异面直线的判定定理可得 1 与 1是异面直线． （2）如图，连接 1， 因为 ∥ 1 1， = 1 1，可知四边形 1 1为平行四边形， 则 1 ∥ 1，即∠ 1 1为异面直线 1 与 1所成的角（或其补角）， 连接 1 1，由已知可得 1 = 1 = 32 + 42 = 5， 1 1 = 3 2， 2 则cos∠ = 52+52 (3 2) 161 1 = ．2×5×5 25 16 所以异面直线 1 与 1所成角的余弦值为25． 3．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ⊥ 平面 ， = 2 ． (1) 判断在梭 上是否存在一点 使 ⊥ 平面 ，若存在，求 ；若不存在，说明理由； (2)当点 , 分别是 , 的中点时，求异面直线 和 的夹角的余弦值． 【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理以及性质定理，结合三角形相似即可得出结论； （2）易知 // ，结合余弦定理即可求得异面直线 和 的夹角的余弦值． 【解答过程】（1）作 ⊥ 于点 ，如下图所示： 因为底面 为正方形，所以 ⊥ ， 又因为 ⊥ 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ， 且 ∩ = , , 平面 ， 所以 ⊥ 平面 ， 又因为 平面 ，所以 ⊥ ， 又因为 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ， 所以此时满足 ⊥ 平面 ； 又因为 ⊥ ，因此 △ △ △ ， 因为 = 2 ，所以 = = = 2，所以 = 4； 可得 = 1 5 （2）由（1）可知 , , 两两垂直， 因为点 , 分别是 , 的中点，所以 // ， 因此异面直线 和 的夹角即为 和 的夹角，即∠ （或其补角）； 不妨取 = = 1，则 = 2， 所以 = 5, = 6， 在 △ 中，由余弦定理可得 2 + 2 2 6 + 5 1 30 cos∠ = 2 = =2 6 × 5 6 30 因此异面直线 和 的夹角的余弦值为 . 6 4．（23-24 高一下·四川凉山·期末）如图 1，正六边形 边长为 2， 为边 的中点，将四边形 沿 折成如图 2 所示的五面体，使 △ 为正三角形. (1)求证： //面 ； (2)求异面直线 与 所成角的余弦值. 【解题思路】（1）由题意可得 // ，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）取 中点 ，连接 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
