第七章 复数全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第 I 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 1．（5 分）（2024 高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若 ∈ R，则( + 1)i是纯虚数； ②若 ， ∈ R，且 > ，则 + i> +i； ③若( 2 4) + ( 2 + 3 + 2)i是纯虚数，则实数 =± 2； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【解题思路】对于①，当 = 1时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当 = 2时， 即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【解答过程】对于①，若 = 1，则( + 1)i不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若 = 2，则 2 4 = 0， 2 +3 + 2 = 0，此时( 2 4) + ( 2 + 3 + 2)i不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：D. 2．（5 分）（23-24 高一下·湖南株洲·期末）已知复数 满足(1 i) = | 3 + i|，则 在复平面内所对应的点位 于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】先求等式右边复数的模长，然后由复数的除法求出 ，根据共轭复数得到 ，然后由复数的几 何意义进行判断. 【解答过程】根据复数的模长公式，| 3 + i| = 32 + 12 = 2， 2 则(1 i) = 2 2(1+i)，故 = 1 i = 1 i2 = 1 + i，故 = 1 i， 根据复数的几何意义， 在复平面上对应点是(1, 1)，在第四象限. 故选：D. 3．（5 分）（23-24 高一下·江苏苏州·期中）已知复数 满足| 1| = 1，则| + 2 + 4i|（i是虚数单位）的最 小值为（ ） A． 17 1 B．4 C． 17 +1 D．6 【解题思路】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【解答过程】设 = + i，则由| 1| = 1 ( 1)2 + 2 = 1， 所以复数 在复平面内对应的点坐标在(1,0)为圆心，1 为半径的圆上，如下图所示： 而| + 2 + 4i| = ( + 2)2 + ( + 4)2， 即求复平面内点( , )到( 2, 4)距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点( , )位于( 2, 4)与圆心(1,0)点连线交点时，取到最小值， 即 ( 2 1)2 + ( 4 0)2 1 = 4 故选：B. 4．（5 分）（23-24 高一下·福建福州·期中）已知复数 1 = 1 + 3i， 2 = 3 + i，则 1 2在复平面内对应的点 所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】根据题意，求得 1 2 = 2 + 2i，结合复数的几何意义，即可求解. 【解答过程】由复数 1 = 1 + 3i， 2 = 3 + i，则 1 2 = 2 + 2i， 则复数 1 2在复平面内对应的点为( 2,2)，位于第二象限. 故选：B. 5．（5 分）（23-24 高一下·江苏无锡·期末）已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A．i + i3 + i5 + i7是纯虚数 B．若 (1 + i) = 2，则 是方程 2 + 1 = 0的一个复数根 C．若 ∈ C，则| 2| = | |2 D．若复数 满足1 < | | < 2，则复数 在复平面内对应的点所构成的图形面积为π 【解题思路】根据虚数i运算法则和复数的分类，可判定 A 错误；根据复数的运算法则，可判定 B 错误；根 据复数模的计算公式，可判定 C 正确；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，可判定 D 正确. 【解答过程】对于 A 中，由i + i3 + i5 + i7 = i i + i i = 0，不是纯虚数，所以 A 不正确； 2(1 i) 对于 B 中，由 (1 + i) = 2，可得 = (1+i)(1 i) = 1 i， 因为(1 i)2 (1 i) +1 = 2i 1 + i +1 = i ≠ 0， 所以 不是方程 2 + 1 = 0的一个复根，所以 B 不正确； 对于 C 中，设复数 = + i,( , ∈ R)，可得 2 = 2 2 +2 i， 所以| 2| = ( 2 2)2 + (2 )2 = 2 + 2， 又由| |2 2 = ( 2 + 2) = 2 + 2，所以| |2 = | |2，所以 C 正确； 对于 D 中，设 = + i ... ...
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