第八章 立体几何初步全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第 I 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 1．（5 分）（23-24 高一下·湖南株洲·期末）设 为空间中两条不同直线， 为空间中两个不同平面， 下列命题正确的是（ ） A．若 ⊥ , , ，则 ⊥ B．若 不垂直于 , ，则 必不垂直于 C．若 // , // ，则 // D．若 是异面直线， , // , , // ，则 // 【解题思路】A 中 ， 可能平行、相交或异面；B 中 有可能垂直于 ；C 中 // 或 ；D 中结合线面 平行的性质定理与面面平行的判定定理即可得. 【解答过程】对于 A，若 ⊥ ， ， ，则 ， 可能平行、相交或异面，故 A 错误； 对于 B，若 不垂直于 ，且 ，则 有可能垂直于 ，故 B 错误； 对于 C，若 // 且 // ，则 // 或 ，故 C 错误； 对于 D，若 、 是异面直线， ， // ， ， // ， 则在直线 上任取一点 ，过直线 与点 确定平面 ，设 ∩ = ， 又 // ，则 // ， ， ，所以 // ， 又 // ， ， ， ∩ = ，所以 // ，故 D 正确. 故选：D. 2．（5 分）（23-24 高一下·辽宁·期末）若水平放置的平面四边形 AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观 图，其中 ′ ′// ′ ′， ′ ′ ⊥ ′ ′， ′ ′ = 1， ′ ′ = 2，则以原四边形 AOBC 的边 AC 为轴旋转一周得到的 几何体的体积为（ ） A 14 2．14 2π +8π B． π C 32π D 40． 3 ． 3 π3 【解题思路】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，再轴旋转一周得到的圆柱和圆锥的组合几 何体的体积. 【解答过程】由题意， ′ ′// ′ ′， ′ ′ ⊥ ′ ′， ′ ′ = 1， ′ ′ = 2， ∴ ′ ′ = 2， 所以原图形 中， // ， ⊥ ， = 1， = 2， = 2 ′ ′ = 2 × 2 = 2 2， 所以梯形 以边 为轴旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个同底圆锥的组合体， = π 2 × 13π 2 × 1 40( ) = π × 8 × 2 3π × 8 × 1 = 3 π． 故选：D． 3．（5 分）（23-24 高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥 中，2 = 6 = 6, 是棱 上的动点， 一只蚂蚁从 A 点出发，经过 E 点，爬到 C 点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（ ） A．2 2 B．2 3 C．2 5 D．2 6 【解题思路】根据题意，将平面 和平面 展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得 AC 的长就 是蚂蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案. 【解答过程】根据题意，如图，将平面 和平面 展开到同一个平面， 连接 ，与 交于点 ，则 的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值， 设∠ = ，则∠ = 2 ， 又由2 = 6 = 6得 = 3, = 6，则cos = 9+9 6 2 2×3×3 = 3， 则有cos∠ = cos2 = 2cos2 1 = 19， 故 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 9 + 9 + 2 × 3 × 3 × 19 = 20， 则 = 2 5，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是2 5. 故选：C. 4．（5 分）（23-24 高一下·山东威海·期末）在三棱锥 中， ⊥ 平面 ， △ 为等腰三角形且 面积为 3，∠ =120° , = 4.若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A．20 B．24 C．32 D．48 【解题思路】由三角形的面积公式可求得 = = 2，设 △ 的外心为 1，进而可求得 1 = 2，过 1 作平面 的垂线 1 ，可得外接球的半径，进而可求表面积. 1 【解答过程】因为 △ 为等腰三角形且面积为 3，所以2 · ·sin120° = 3，又 = ， 所以 = = 2，所以∠ = 30°，设 △ 的外心为 1， 2 1 可得 1 = sin30° × 2 = 2，过 1作平面 的垂线 1 ， 则球心在直线 1 上，设球心为 ，可得 在 的垂直平分线上， 1 所以 1 = 2 = 2，所以 2 = 2 21 + 1 = 8， 所以三棱锥 的外接球的表面积为4π 2 = 32π. 故选：C. 5．（5 分）（23-24 高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为2 3 ... ...
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