第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第 I 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 1．（5 分）（24-25 高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） A．若 ∥ ，则 与 的方向相同或相反 B．若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“ = ”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件 C．若 ∥ , ∥ ，则 ∥ D．“ = ”的充要条件是“| | = | |且 ∥ ” 【解题思路】利用向量的概念和共线向量的概念逐项判断即可. 【解答过程】零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当 = 0时， ≠ 0时， ∥ ， 但不满足两向量方向相同或相反，选项 A 错误； 因为 A，B，C，D 是不共线的四点， = ，所以 ∥ , = ，故四边形 ABCD 为平行四边形， 若四边形 ABCD 为平行四边形，则 = ，所以“ = 是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件， 选项 B 正确； 当 = 0时， ∥ ， ∥ ，但不一定有 ∥ ，选项 C 错误； 当 = 时，有| | = | |且 ∥ ，当| | = | |且 ， 方向相反时， ≠ ， 所以“ = ”是“| | = | |且 ∥ ”的充分不必要条件，选项 D 错误． 故选：B． 2．（5 分）（24-25 高一下·天津·阶段练习）若向量 ， 满足| | = | | = 2，| + | = 2 3，则（ ） π A． = 2 B． 与 的夹角为6 C | | < | | D 1． + ． 在 上的投影向量为2 【解题思路】由模与数量积的关系求得 = 2，再根据数量积的性质确定 与 的夹角，求解投影向量即可 得结论. 2 2 【解答过程】对于 A，| + | = ( + ) = 2 + 2 + = 8 + 2 = 2 3，则 = 2，A 错误； π 对于 B，cos , = = 2 1 | || | 2×2 = 2，0 ≤ , ≤ π，则 , = 3，B 错误； 对于 C，| | = ( )2 = 2 2 + 2 = 2，| | < | + |，C 正确； ( ) 2 1 对于 D，又 在 上的投影向量为 = = ，D 错误. | |2 | |2 2 故选：C. 3．（5 分）（24-25 高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量 ， 不共线， = 4 +6 ， = +3 ， = +3 ，则（ ） A． , , 三点共线 B． , , 三点共线 C． , , 三点共线 D． , , 三点共线 【解题思路】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【解答过程】对于 A， = + = +3 + +3 = 6 ，与 不共线，A 不正确； 对于 B， = 4 +6 ， = +3 ，则 与 不共线，B 不正确； 对于 C， = +3 ， = +3 ，则 与 不共线，C 不正确； 对于 D， = + = 4 +6 +3 = 3 +9 = 3 ， 即 / ，又线段 AC 与 CD 有公共点 C，所以 , , 三点共线，D 正确． 故选：D． 4．（5 分）（23-24 高一下·四川乐山·期中）如图，已知点 是 △ 的重心，过点 作直线分别与 ， 两边交于 ， 两点，设 = ， = ，则 + 9 的最小值为（ ） A 5 16．2 B．4 C． 3 D．3 1 1 【解题思路】利用三角形重心性质，得 = 3 + 3 ，再由平面向量基本定理设 = +(1 ) ， 1 即 = +(1 ) 1 1，对照系数，得3( + ) = 1，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得 + 9 的最小值. 【解答过程】 如图，延长 交 于点 ，因点 是 △ 的重心， 则 = 2 2 13 = 3 × 2( + ) = 1 1 3 + 3 ，① 因 , , 三点共线，则 > 0，使 = +(1 ) ， 因 = ， = ，代入得， = +(1 ) ，② = 1 1 1 1 由①，②联立，可得， 3 ，消去 即得， ( + ) = 1， (1 ) = 1 3 3 1 + 9 = ( + 9 ) 1(1 + ) = 1 则 3 3(10 + + 9 ) ≥ 10 3 + 1 3 2 = 16 9 3 ， 当且仅当 = 3 时等号成立， 4 4 16 即 = 3, = 9时， + 9 取得最小值，为 3 . 故选：C. 5．（5 分）（23-24 高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶 点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在 ... ...
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