高一下学期第一次月考数学试卷（提高篇）（含答案）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

2024-2025 学年高一下学期第一次月考数学试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第 I 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 1．（5 分）下列命题错误的是（ ） A．若 与 都是单位向量，则 = . B．“| | = | |”是“ = ”的必要不充分条件. C ．若 , 都为非零向量，则使| |+ = 0成立的条件是 与 反向共线.| | D．若 = , = ，则 = . 【解题思路】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断. 【解答过程】对 A， , 都是单位向量，则 , 模长相等，但方向不一定相同， 所以得不到 = ，A 错误； 对 B，“| | = | |”推不出“ = ”，但 “ = ”能推出 “| | = | |”， 所以“| | = | |”是“ = ”的必要不充分条件，B 正确； 对 C，因为 与 反向共线， 且| |， 都为单位向量，则| |+ = 0，C 正确；| | | | 对 D，若 = , = ，则 = ，D 正确， 故选：A. 2．（5 分）已知复数 = + i( , ∈ )，若(1 i) = 2 + i，则复数 在复平面内对应的点 位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】根据共轭复数的概念及复数的基本运算化简，再应用复数相等得出参数，最后应用复数的几 何意义得出点的象限． 【解答过程】由题意，得(1 i)( + i) = i 2 + i， ∴ + + ( )i = 2 + ( )i， ∴ + = 2, = , 解得 = = 2， ∴ = 2 2i在复平面内对应的点为 ( 2, 2)在第三象限． 故选:C． 3．（5 分）在 △ 中， 、 分别在边 、 上，且 = 2 ， = 4 ， 在边 上（不包含端 1 2 点）．若 = + ，则 + 的最小值是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2 【解题思路】设 = ，其中0 < < 1 1 1，推导出2 + = 4，将代数式 + 与4(2 + )相乘，展开后利 1 2 用基本不等式可求得 + 的最小值. 【解答过程】因为 在边 上（不包含端点），不妨设 = ，其中0 < < 1， 即 = ， 所以， = (1 ) + = 2(1 ) +4 ， 又因为 = + ，则 = 2 2 ， = 4 ，其中 、 均为正数， 且有2 + = 4， 1 2 1 1 2 1 4 1 4 所以， + = 4(2 + ) + = 4 4 + + ≥ 4 4 + 2 = 2， 4 = = 1 当且仅当 2 + = 4 时，即当 = 2 时，等号成立， > 0, > 0 1 2 故则 + 的最小值是2. 故选：A. 4．（5 分）已知复数 满足| 1| = 1，则| + 2 + 4i|（i是虚数单位）的最小值为（ ） A． 17 1 B．4 C． 17 +1 D．6 【解题思路】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【解答过程】设 = + i，则由| 1| = 1 ( 1)2 + 2 = 1， 所以复数 在复平面内对应的点坐标在(1,0)为圆心，1 为半径的圆上，如下图所示： 而| + 2 + 4i| = ( + 2)2 + ( + 4)2， 即求复平面内点( , )到( 2, 4)距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点( , )位于( 2, 4)与圆心(1,0)点连线交点时，取到最小值， 即 ( 2 1)2 + ( 4 0)2 1 = 4 故选：B. 5．（5 分）直角梯形 ABCD 中， = = 2， = 3， = 1，点 , 为 , 中点， 在 、 、 边上运动（包含端点），则 的取值范围为（ ） A． 1 , 3 B 0, 3． C 0, 1． D． 1 , 1 2 2 2 2 2 2 【解题思路】建立直角坐标系，分类讨论 在 、 、 边上运动时 的取值范围，从而得解. 【解答过程】依题意，建立直角坐标系，如图， 则 (0,0), (2,0), (1,0), (0, 3), (1, 3), 3 , 3 ， 2 2 当 在 边上运动时，记 (0, )(0 ≤ ≤ 3)， 则 = ( 1, ), = 1 , 3 ， 2 2 1 3 所以 = 2 + ，则 ∈ 1 2 ,1 ；2 当 在 边上运动时，记 ( , 3)(0 ≤ ≤ 1)， 则 = 1 3 1( 1, 3)，所以 = 2( 1) + 2 = 2 + 1，则 ∈ 1, 3 ； 2 当 在 边上运动时，记 = (0 ≤ ≤ 1)， 则 = + = + = (1,0) + ( 1, 3) = (1 , 3 )， 所以 = 1 12(1 ) + 3 × 3 = 2 + ，则 ∈ 1 3 ； 2 ,2 2 综上： ∈ 1, 3 . 2 故选：A. 6 ．（5 分）在△ 中，内角 , , 的对边分别为 , , ，已知 ... ...