2024-2025 学年高一下学期期中数学试卷（巩固篇） 参考答案与试题解析 第 I 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 1．（5 分）下列命题正确的是（ ） A．若 、 都是单位向量，则 = B．若 = ，则四点 A、B、C、D 构成平行四边形 C． 与 是两平行向量 D．若 = 2 ≠ 0 ，则 是 的相反向量 【解题思路】对于 A，根据单位向量的定义分析判断，对于 B，根据相等向量的定义分析判断，对于 C，根 据平行向量的定义分析判断，对于 D，根据相反向量的定义分析判断. 【解答过程】对于 A，因为单位向量的方向不同时，两向量不相等，所以 A 错误， 对于 B，当 = ，且 A，B，C，D 四点共线时，四点 A、B、C、D 不能构成平行四边形，所以 B 错误， 对于 C，因为 = ，所以 与 是两平行向量，所以 C 正确， 对于 D，相反向量的长度相等，显然 = 2 ≠ 0 时， 不是 的相反向量，所以 D 错误. 故选：C. 2．（5 分）已知2 + i是关于复数 的方程 2 + = 0( , ∈ )的一根，则 + = （ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【解题思路】根据虚根成对原理可得2 i也是方程的根，再由韦达定理计算可得. 【解答过程】因为2 + i是关于复数 的方程 2 + = 0( , ∈ )的一根， 所以2 i也是关于复数 的方程 2 + = 0( , ∈ )的一根， = (2 + i) + (2 i) = 4 所以 = (2 + i)(2 i) = 5 ， 所以 + = 9. 故选：C. 3 5 2 ．（ 分）如图，在 △ 中， 是边 BC 的中点， 是 AM 上一点，且 = 3 + 2 ，则 = （ ） A 1 1 1 2．3 B．6 C．2 D．5 【解题思路】根据向量的线性运算求解即可. → → 【解答过程】因为 是 上一点，可设 = ， → → → → → → → → → → → → 由题意知 = + = + = + ( ) = (1 ) + 2 = 2 3 + 2 , 1 = 2 = 1 3 3 1所以 , 解得 1 ，所以 = 3，= = 2 2 3 故选：A. 4．（5 分）一水平放置的平面四边形 的直观图 ′ ′ ′ ′如图所示，其中 ′ ′ = ′ ′ = 1， ′ ′ ⊥ ′轴， ′ ′ ⊥ ′轴， ′ ′ // ′轴，则四边形 的面积为（ ） A 3．3 2 B．3 2 C．3 D．2 2 【解题思路】结合图形可得 ′ ′ = 2，则可得四边形 ′ ′ ′ ′面积，后可得四边形 的面积. 【解答过程】设 ′轴与 ′ ′交点为 D，因 ′ ′ ⊥ ′轴， ′ ′ ⊥ ′轴，则 ′ ′// ′ ′， 又 ′ ′// ′轴，则四边形 ′ ′ ′为平行四边形，故 ′ = ′ ′ = 1. 又∠ ′ ′ ′ = 45o，结合 A′B′⊥x′轴，则 ′ = ′ ′ = 1，故 ′ ′ = 2. 1 3 则四边形 ′ ′ ′ ′面积为2 × (1 + 2) × 1 = 2， 因四边形 ′ ′ ′ ′面积是四边形 的面积的 2倍， 4 则四边形 OABC 的面积为3 2. 故选：B. 5．（5 分）在复平面内，已知 = 10i3+i，则下列说法正确的是（ ） A． 的虚部为3i B． 在复平面内对应的点位于第二象限 C．| | = 10 D． 的共轭复数 = 3i 1 【解题思路】应用复数的除法化简复数，进而确定虚部、对应点所在象限、求模长和共轭复数，即可得答 案. = 10i 10i(3 i) 【解答过程】由 3+i = (3+i)(3 i) = 1 + 3i，所以 的虚部为 3，A 选项错误； 在复平面内对应的点为(1,3)，在第一象限，B 选项错误； | | = 10，C 选项正确； = 1 3i，D 选项错误. 故选：C. 6．（5 分）已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中 = 3, = 6,∠ = 2π3 ，若此圆台的上、下底面圆 周都在球 的球面上，则球 的表面积为（ ） A．36π B．54π C．64π D．68π 【解题思路】由对应关系可得圆台的上、下底面圆半径分别为1,3，进而计算出圆台的高，设球心 到 点所 在的底面的距离为 ，表示 到 点所在底面的距离，利用球半径相等建立等量关系，解方程即可得到结果. 【解答过程】设圆台的上、下底面圆半径分别为 1, 2， = 2由题意得， 3π × ... ...
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