类型一 反比例函数与一次函数的综合 【典例1】 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(3，n)，与y轴交于点B(0，－2)，点P是反比例函数y＝(x＞0)的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x＋b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP． (1)求k，b的值； (2)当△ABP的面积为3时，求点P的坐标； (3)设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标． [解] (1)∵直线y＝x＋b过点B(0，－2)， ∴0＋b＝－2，∴b＝－2， ∵直线y＝x－2过点A(3，n)， ∴n＝3－2＝1，∴A(3，1)， ∵y＝的图象过点A(3，1)， ∴k＝xy＝3×1＝3． (2)∵P，Q(t，t－2)，A(3，1)，B(0，－2)， ∴PQ＝－(t－2)， ∵S△APB＝S△APQ＋S△BPQ＝PQ·(xA－xB)＝×3＝3， ∴t＝， ∴点P的坐标为()． (3)如图1， ∵P，Q(t，t－2)，∴C， 当BC是边，点D在x轴正半轴上时， 作CF⊥OB于点F，作DG⊥CF于点G， ∴∠BFC＝∠G＝90°， ∴∠FBC＋∠FCB＝90°． ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCG＋∠FCB＝90°， ∴∠FBC＝∠DCG． ∵BC＝CD， ∴△BFC≌△CGD(AAS)， ∴CF＝DG． ∵OF＝DG， ∴OF＝CF， ∴＝t， ∴t1＝1，t2＝－3(舍去)， ∴P(1，3)． 如图2， 当点D在x轴的负半轴上时， 可得BG＝DF＝2， ∴t＝2， ∴P． 如图3，当BC是对角线，点D在x轴负半轴上时， 可得CF＝OD，DF＝OB＝2， ∴＝2－t， ∴t＝1， ∴P(1，3)． 如图4，当BC是对角线，点D在x轴正半轴上时，可得 CG＝DF＝2，DG＝BF， ∴t＋2＝， ∴t1＝2－3，t2＝－2－3(舍去)， 当t＝2－3时，＝＝2＋3， ∴P(2－3，2＋3)． 综上所述，点P的坐标为或(1，3)或(2－3，2＋3)． [对点演练] 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx＋n所在直线AB与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于A(a，4)和B(4，b)两点，连接OA，把OA沿x轴向右平移3个单位长度得到线段CD，CD恰好过点B且点C(5，c)． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)请结合函数图象，直接写出关于x的不等式≥mx＋n的解集； (3)求梯形AODB的面积． [解] (1)根据题意知，AO∥CD，AO＝CD， ∴四边形AODC是平行四边形， ∴点A(a，4)和点C(5，c)的横坐标相差3，纵坐标相同， 即a＝2，c＝4． ∴A(2，4)，C(5，4)． ∵反比例函数y＝的图象过A(2，4)， ∴k＝4×2＝8， ∴反比例函数的表达式为y＝， 把B(4，b)代入y＝，得b＝＝2， ∴B(4，2)． 把A(2，4)，B(4，2)代入y＝mx＋n，得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x＋6． (2)由函数图象可得≥－x＋6的解集为0＜x≤2或x≥4． (3)∵OD＝3，点A到OD的距离为4， ∴S AODC＝4×3＝12． ∵AC∥OD， ∴点B到AC的距离为yA－yB＝4－2＝2， ∴S△BAC＝×3×2＝3． ∴S梯形AODB＝S AODC－S△BAC＝12－3＝9． ∴梯形AODB的面积为9． 类型二 反比例函数与几何变换的综合 【典例2】 如图，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC＝90°，边AC交y轴于点D，点C在反比例函数y＝第一象限的图象上，AC所在直线的表达式为y＝ax＋4，其中点A(－2，0)，B(1，0)． (1)求反比例函数和AC所在直线的表达式； (2)将Rt△ABC的直角边BC沿着x轴正方向平移m个单位长度得到线段B′C′，线段B′C′与反比例函数的图象交于点E，问当m为何值时，四边形ODC′E是平行四边形？ [解] (1)AC所在直线的表达式为y＝ax＋4，其中点A(－2，0)，将A点坐标代入得：－2a＋4＝0， 解得：a＝2， ∴AC所在直线的表达式为y＝2x＋4． ∵B(1，0)，∠ABC＝90°， ∴2×1＋4＝6，∴C(1，6)， ∵点C在反比例函数y＝第一象限的图象上， ∴k＝1×6＝6，∴反比例函数的表达式为y＝． (2)当x＝0时，y＝2x＋4＝4，∴OD＝4， 将Rt△ABC的直角边BC沿着x轴正方向平移m个单位长 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
