2024-2025 学年江苏省徐州市铜山区高一（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 105°的值为( ) A. 3+ 2 B. 2+1 C. 6 22 2 4 D. 2+ 6 4 2.已知复数 满足 (1 ) = 2 ，其中 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知 1 与 2 是两个不共线的向量， = 3 1 + 2 2 ， = 1 + 2 2 ， = 3 1 2 ，若 ， ， 三点 共线，则实数 的值为( ) A. 4 B. 12 C. 4 D. 5 4.在平行四边形 中， = 3 ， = 2 ，则 =( ) A. 1 + 2 B. 2 + 1 C. 22 3 3 2 3 + 2 D. 2 + 2 3 5.下列函数 ( )的最小正周期为 2 的是( ) A. ( ) = B. ( ) = 1+ 1 C. ( ) = cos( 3 + ) cos( 3 ) D. ( ) = 3 2 2 6.已知 > 0，函数 ( ) = sin( + 4 ) 在(0, 3 )上有且只有一个零点，则 的取值范围是( ) A. [ 9 , 214 4 ] B. ( 9 , 214 4 ] C. [ 9 4 , 6] D. ( 9 4 , 6] 7 2 2 1.已知 ， 为锐角，cos( + ) = 3 ， = 4，则 2( ) =( ) A. 79 B. 7 9 C. 17 17 18 D. 18 8.记△ 的面积为 ，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 3 2 + 3 2 2 = 4 3 ，则△ 的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在复数范围内，下列命题正确的是( ) A.若 ≠ 0，则 为纯虚数 B.若 2 = 1，则 = C.若| + 2| = 1，则| |的最大值为 3 D.若| 1 + 2| = | 1 2|，则 1 2 = 0 10 1.函数 ( ) = 2 sin(2 3 )，则下列说法正确的是( ) 第 1页，共 7页 A. ( ) 2 的图象关于点为( 3 , 0)对称 B. ( ) ( 在区间 6 , 3 )单调递增 C. = ( )与 = 2 的图象有相同的对称轴 D. = ( )与 = 的图象在(0,2 )上有两个不同的交点 11.如图，△ 为边长为 2 的等边三角形，以 的中点 为圆心，1 为半径作一个半圆，点 为此半圆弧 上的一个动点，则下列说法正确的是( ) A. = 1 2 + 1 2 B. = 3 C. 的最大值为 5 D.若 = + 3+ 3，则当 ， ， 三点共线时， + = 3 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知 2 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，其中 为虚数单位，则 + = _____． 13 2 .若 = 2，则 2 +3 2 = _____． 14.在等腰△ 中， = ，cos∠ = 45，在△ 内一点 满足∠ = ∠ = ∠ ， = 5， 则 的值为_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) (1)已知 = (2, )， = ( 1, 12 )，若 + 与 2 平行，求| |； (2)已知| | = 2，| | = 1， 与 的夹角为 120°，若 + 与 3 垂直，求实数 的值． 16.(本小题 15 分) 已知 ∈ (0, 2 ), ∈ ( 2 , )， = 1 2，cos( ) = 2 10． (1)求 sin(2 + 3 )的值； (2)求 + 的大小． 17.(本小题 15 分) 已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 + = 4 ． 第 2页，共 7页 (1)求 ； (2)若 = 3，△ 的周长为 9，点 是边 的中点，求线段 的长． 18.(本小题 17 分) 如图，某学校有一块边长为 4 的正方形 实验田用地，在此正方形的边 ， 上分别取点 ， (均不 与正方形的顶点重合)，用栅栏连接 ， ， ，设∠ = ，∠ = ，∠ = ． (1)当 = 45°， = 30°时，求所用栅栏的总长度； (2)当 = 60°时，在△ 内的区域种植蔬菜，求种植蔬菜的区域面积的最小值； 19.(本小题 17 分) 由两角和差公式我们得到倍角公式 2 = 2 2 1，实际上 3 也可以表示为 的三次多项式． (1)试用 表示 3 ； (2)求 sin 10的值； (3)已知方程 3 3 1 = 0 在( 2,2)上有三个根，记为 1， 2， 3，且 1 > 2 > 3，求证： 3 2 21 = 2 1 的值． 第 ... ...
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