2024-2025学年福建省福宁古五校教学联合体高一（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数，则( ) A. B. C. D. 2.若角的终边经过点，则( ) A. B. C. D. 3.下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是( ) A. B. C. D. 4.已知向量和满足，，，，则( ) A. B. C. D. 5.已知中，角，，所对的边分别为，，，设向量，，若，则是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 6.已知，都是锐角，，，则( ) A. B. C. D. 7.已知函数，若在区间上有且仅有个零点和条对称轴，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.在中，已知，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，，则( ) A. B. C. D. 在上的投影向量是 10.已知函数的部分图象如图所示，则( ) A. B. C. 是函数图象的一个对称中心 D. 的图象可由的图象向左平移个单位得到 11.如图，在边长为的等边三角形中，为中心，过点的直线交边于点，交边于点．，，则( ) A. B. C. 若为内部一点包括边界，则最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量，，若，则 _____． 13.如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距海里的处的乙船乙船立即沿着方向前往救援则 _____． 14.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量对于平面内任意一点，若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标定义为在坐标系中的“绝对距离”已知平面内点，若，则 _____；若，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 设复数，． 若是纯虚数，求； 若，在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中是原点，设是的夹角，求． 16.本小题分 中，角，，所对的边分别为，，，已知，点在边上，且． 若，求； 若，求． 17.本小题分 已知函数． 求函数的单调递减区间； 若，求． 18.本小题分 如图，正方形的边长为，，分别为线段，上的动点，设，． 若，求； 若的周长为， 求； 求面积的最小值． 19.本小题分 如图，设等边的边长为，为的中心，，为边上的三等分点，，为边上的三等分点，，为边上的三等分点． 求； 设其中，；，，求的最大值； 设其中，；，；，，求的最大值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15解：.易知， 由题意得，解得， 所以，； ，在复平面内对应点的坐标分别为和， 所以， 因此． 16.解：在中，由余弦定理得，又， 所以，所以，又，所以， 因为，所以，，即，， 所以，所以； 因为，所以，又因为，且， 所以，， 又由正弦定理得，所以． 17.解： ． 令， 解得， 所以的单调递减区间为． 若，则， 因为，所以． 又因为， 所以， 则． ， ， 故． 18.解：依题意得，， 所以； ，，所以，，， 在中，，即， 整理得，所以； 由可知，，所以，故， 又，，所以 ， 当，即时，的面积取到最小值． 19.解：，， ； ， ， 所以， 当，时，取到最大值； ， 同理得， ， 所以， 令， 当时，， 当，或者，时，， 当，时，， 综上，的最大值为． 第1页，共1页 ... ...
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