2024-2025 学年江西省南昌十中高一（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.向量( ) + ，化简后等于( ) A. B. 0 C. 0 D. 2.“点 ( , )在第二象限”是“角 为第三象限角”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.向量 与 的夹角为3，| | = 1，| | = 3， 在 上投影数量为( ) A. 2 B. 32 C. 1 D. 1 2 4.在△ 中，点 在边 上， = 2 ，则 =( ) A. 3 2 B. + 2 C. 2 + 3 D. 2 3 5.已知向量 = (1,2)， = ( , 4)，且( + )/ / ，则 的值为( ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 6 2 .已知 ∈ ( 3 , )，cos( 4 6 ) = 5，则 tan( + 5 6 ) =( ) A. 43 B. 3 4 3 4 C. 3 D. 4 7 .已知函数 ( ) = 2 ( > 0)在区间[ 4 , 3 ]上是增函数，若函数 ( )在[0, 2 ]上的图象与直线 = 2 有 且仅有一个交点，则 的范围为( ) A. [2,5) B. [1,5) C. [1,2] D. [1, 32 ] 8.如图 2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点 且三组对边分别平行．点 ， 是“六芒 星”(如图 1)的两个顶点，动点 在“六芒星”上(内部以及边界)，若 = + ，则 + 的取值范围 是( ) A. [ 4,4] B. [ 21, 21] C. [ 5,5] D. [ 6,6] 第 1页，共 7页 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知 1 , 2 是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是( ) A. 1 + 2 和 2 B. 3 1 2 和 6 1 + 4 2 C. 1 + 2 和 2 + 1 D. 2 和 2 + 1 10.已知点 (1,2)， (3,1)， (4, + 1)( ∈ )，则下列说法正确的是( ) A. | | = 5 B.若 ⊥ ，则 = 2 C.若 // ，则 = 1 D.若 ， 2 的夹角为钝角，则 < 2 11.△ 是边长为 3 的等边三角形， = 2 ，则下列说法正确的是( ) A. = 1 3 + 23 B. = 7 C. = 3 D. 2 1在 上的投影向量是 6 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知 = (3, 4)，则 方向上的单位向量的坐标为_____． 13 .若函数 ( ) = 3 (2 + 6 + )( > 0)为奇函数，则 的最小值为_____． 14.在△ 中，下列命题中正确的有：_____ ① = ； ②若 > 0，则△ 为锐角三角形； ③ 是△ 所在平面内一定点，动点 满足 = + ( + )， ∈ [0, + ∞)，则动点 一定过△ 的重心； ④ 是△ 内一定点，且 + + 2 = 0 ，则 △ 1 = 3；△ ⑤若( + ) = 0 ，且 = 1 2，则△ 为等边三角形．丨 丨 丨 丨 丨 丨 丨 丨 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 已知向量 , 不共线，且 = 2 , = 3 + , = + ． (1)若 // ，求 的值； (2)若 = 3，求证： ， ， 三点共线． 16.(本小题 15 分) 已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，sin2 + sin2 sin2 = ． 第 2页，共 7页 (1)求角 ； (2)若 = 3，求△ 周长的取值范围． 17.(本小题 15 分) 已知向量 = (3,2)， = ( , 1)． (1)当( + 2 ) ⊥ (2 )且 > 0 时，求 ； (2)当 = ( 8, 1)， / /( + )，求向量 与 的夹角 ． 18.(本小题 17 分) 如图，在△ 中，| | = 8，| | = 5 ，∠ = ，且 5 3 = 8 ，3 = 5 ， 与 交于点 ． (1)用 ， 表示 ， ； (2)求 的值； (3)求 cos∠ 的值． 19.(本小题 17 分) 已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, 2 < < 0)的部分图像如图所示． (1)求 ( )的解析式及对称中心； (2)若 ( ) = 32， ∈ [ , 2 2 ]求 的值； (3)若方程 2 ( ) 3 3 = 0 在(0, )上恰有 5 个不相等的实数根，求 的取值范围． 第 3页，共 7页 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.( 3 ... ...
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