河北省部分学校2025届高三下学期高考综合能力提升卷（一）数学试卷（含答案）

河北省部分学校2025届高三下学期高考综合能力提升卷（一） 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，则( ) A. B. C. D. 2.已知复数满足是虚数单位，则( ) A. B. C. D. 3.已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则( ) A. B. C. D. 4.已知焦距为的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 5.“的展开式中的系数为”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知为抛物线上的一点，到的焦点距离与到轴距离之和为，则点的横坐标为( ) A. B. C. D. 7.已知函数，，且，则( ) A. 的图象关于对称 B. 的单调递增区间为 C. 当时，的值域为 D. 的图象可由函数的图象向右平移个单位长度获得 8.已知函数，，若函数在上有两个不同的极值点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，则( ) A. B. C. D. 10.某商场统计了天的日收入单位：万元，并分组如下：，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是( ) A. 这天中日收入不低于万元的有天 B. 用比例分配的分层随机抽样法从日收入低于万元的天数中抽取天，则这天中有天的日收入低于万元 C. 这组数据的平均数是万元每组数据以区间中点值为代表 D. 这组数据的第百分位数为万元 11.已知是圆上的一点，是圆上的一点，为直线上一点，则下列说法正确的是( ) A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，向量，若向量与平行，则 ． 13.若，，则 ． 14.秦量是秦代为统一全国量制而由官府颁发的标准量器，秦量多为铜质和陶质，铜量有方升和椭量，陶量则多为圆桶形即圆台形状，如图所示某地出土秦诏文陶量件，高为厘米，上部外径即上底面外部直径为厘米，下部外径即下底面外部直径为厘米，则此陶量的外接球的表面积为 平方厘米． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知数列满足，． 求证：是等差数列； 若，求数列的前项和． 16.本小题分 如图，四棱锥中，平面，，，，为上一点，且． 证明：平面平面；求直线与平面所成角的正弦值． 17.本小题分 某农业科学院果树研究所在培育新品种苹果树的研究中，选择个果园试种新品种苹果树，得到样本数据如下表： 果园的面积单位：亩 产量单位：吨 若果园的面积单位：亩与产量单位：吨满足线性回归关系，试求关于的线性回归方程； 果树研究所在某县大面积推广此品种苹果树，以这个果园亩产量高于吨亩的频率为概率，从该县果园中随机抽取个，其中亩产量高于吨亩的果园的个数记为，求的分布列和数学期望． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：． 18.本小题分 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与交于，两点，当直线垂直于时，． 求的方程； 若的内切圆的半径为，求直线的方程． 19.本小题分 若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“” 判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； 若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； 若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.数列中，，，则，， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列． 由知，，则，， 所以数列的前项和． 16.解：平面平面． 在直角梯形中，， ， ， 又平面， 平面， 平面平面； 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示． 易知． 则，． 设是平面的法向 ... ...