专题6.2 排列与组合【十大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第三册）（含答案）2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题 6.2 排列与组合【十大题型】 【人教 A 版（2019）】 【题型 1 有关排列数的计算与证明】 ....................................................................................................................2 【题型 2 排列数方程和不等式】 ............................................................................................................................3 【题型 3 元素（位置）有限制的排列问题】 ........................................................................................................5 【题型 4 相邻问题的排列问题】 ............................................................................................................................6 【题型 5 不相邻排列问题】 ....................................................................................................................................8 【题型 6 有关组合数的计算与证明】 ..................................................................................................................11 【题型 7 组合数方程和不等式】 ..........................................................................................................................12 【题型 8 组合计数问题】 ......................................................................................................................................14 【题型 9 分组分配问题】 ......................................................................................................................................15 【题型 10 排列、组合综合】 ................................................................................................................................17 【知识点 1 排列与排列数】 1．排列 (1)排列的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断， 这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从 n 个不同的元素中任 取 m(m n，n,m∈ )个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关 的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有 变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2．排列数 (1)排列数定义 从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示. (2)排列数公式 =n(n-1)(n-2) (n-m+1).这里，n,m∈ ，并且 m n. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第 1 步，排第 1 个位置的元素，有 n 种排法；第 2 步，排第 2 个位置的元 素，有(n-1)种排法；第 3 步，排第 3 个位置的元素，有(n-2)种排法； ；第 m 步，排第 m 个位置的元素， 有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有 =n×(n-1)×(n-2)× ×(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是 n，后面每一个因数比它前面一个因数少 1，最后一个因数是 n-m+1，共有 m 个因数. 3．全排列和阶乘 (1)全排 ... ...