专题 6.7 排列组合中的必考六类问题 【人教 A 版（2019）】 【类型 1 排列数、组合数的计算与证明】 ............................................................................................................2 【类型 2 元素（位置）有限制的排列问题】 ........................................................................................................4 【类型 3 相邻、相间问题】 ....................................................................................................................................7 【类型 4 定序问题】 ..............................................................................................................................................10 【类型 5 分组、分配问题】 ..................................................................................................................................13 【类型 6 涂色问题】 ..............................................................................................................................................17 【知识点 1 排列数与组合数】 1．排列数与组合数 (1)排列数定义 从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示. (2)组合数 从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 表示. 2．排列数、组合数的公式及性质 (1)排列数公式 =n(n-1)(n-2) (n-m+1).这里，n,m∈N*，并且 m n. (2)组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且 m n. ②阶乘表示： . 规定： . (3)组合数的性质 ①性质 1： ； ②性质 2： . 【知识点 2 排列组合必考问题的分类与解题策略】 1．排列应用问题的分类与解法 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在 实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类 过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的 内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二 是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. 2．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个 关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维， 用间接法处理. 3．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有 m 组元素个数相同，则 分组后除以 m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数 原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【方法技巧与总结】 1．解决排列、组合问题的八种技巧 (1)特殊元素优先安 ... ...
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