第七章 随机变量及其分布（思维导图+知识清单） 【人教 A 版（2019）】 7.1 条件概率与全概率公式 【知识点 1 条件概率】 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)>0，我们称 P(B|A)= 为事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设 P(A)>0，Ω 为样本空间，则 ①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1； ②如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； ③设 和 B 互为对立事件，则 P( )=1-P(B|A). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件 A 与 B，若 P(A)>0，则 P(AB)=P(A)·P(B|A). 3．求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(B|A)= . (2)样本点法：P(B|A)= . 【知识点 2 全概率公式】 1．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设 是一组两两互斥的事件， =Ω，且 P(Ai)>0，i=1，2, ， n，则对任意的事件 ，有 P(B)= .我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件 B 发生的概率 P(B)较为困难时，可以先找到样本空间 Ω 的一 个划分 Ω= ， 两两互斥，将 看成是导致 B 发生的一组原 因，这样事件 B 就被分解成了 n 个部分，分别计算 P( )，P( )， ，P( )，再利用全概率公式求 解. 2．贝叶斯公式 设 是一组两两互斥的事件， =Ω，且 P(Ai)>0，i=1，2, ，n，则对 任意的事件 ，P(B)>0，有 . 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件 如下： (1)A 的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即 P(Ai)已知； (2)事件 B 是已经发生的确定事实，且 A 的每种情况发生的条件下 B 发生的概率已知，即 P( )已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用 A 的某种情况 Ai的无条件概率求其在 B 发生的条件下的有条件概率 P( ). 3．利用全概率公式的解题思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件 Ai(i=1,2,…,n)； (2)求 P(Ai)和所求事件 B 在各个互斥事件 Ai发生条件下的概率 P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 7.2 离散型随机变量及其分布列 【知识点 1 离散型随机变量及其分布列】 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点ω，都有唯一的实数 X(ω)与之对应，我们 称 X 为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间 Ω 相当于 函数的定义域. 区别：样本空间 Ω 不一定是数集，随机变量的取值 X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非 空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量 X 的可能取值为 x1，x2，…，xn，我们称 X 取每一个值 xi的概率 P(X=xi)= pi，i=1，2，…，n 为 X 的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为 P(X=xi)=pi，i=1，2， ，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2， ，n； ②p1+p2+ +pn=1. 3．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 【知识点 2 两 ... ...
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