专题7.3 离散型随机变量的数字特征【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第三册）（含答案）2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题 7.3 离散型随机变量的数字特征【八大题型】 【人教 A 版（2019）】 【题型 1 求离散型随机变量的均值】 ....................................................................................................................2 【题型 2 均值的性质】 ............................................................................................................................................4 【题型 3 由离散型随机变量的均值求参数】 ........................................................................................................6 【题型 4 求离散型随机变量的方差、标准差】 ....................................................................................................8 【题型 5 方差的性质】 ..........................................................................................................................................11 【题型 6 求两点分布的均值与方差】 ..................................................................................................................13 【题型 7 离散型随机变量的均值与方差的综合应用】 ......................................................................................15 【题型 8 决策问题】 ..............................................................................................................................................19 【知识点 1 离散型随机变量的均值】 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称 E(X)=x1p1+x2p2+ +xipi+ +xnpn为离散型随机变量 X 的均值或数学期望，数学期望简称 期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即作为随机变量，X 是可变的，可取不同值，而 E(X)是 不变的，它描述 X 取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量 X 的均值为 E(X)，Y=aX+b，其中 a,b 为常数，则 Y 也是一个离散型随机变量，且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当 a=0 时，E(b)=b； 当 a=1 时，E(X+b)=E(X)+b； 当 b=0 时，E(aX)=aE(X). 【题型 1 求离散型随机变量的均值】 【例 1】（23-24 高二下·广西·期中）近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了 AI 电商行业的快速发 展，已知 2020—2023 年中国 AI 解决方案提供商企业数量分别为 1617，2106，2329，2896，从这 4 个数字 中任取 2 1个数字，当所取两个数字差的绝对值小于 500 时，随机变量 = 2；当所取两个数字差的绝对值不 小于 500 时，随机变量 = 1，则 ( ) = （ ） A 1 2 3．2 B．3 C．4 D 5 ．6 【解题思路】先根据已知求出分布列的概率，再求出数学期望即可. 【解答过程】从这 4 个数字中任取 2 个数字，结果有 6 种， 1 1 所取两个数字差的绝对值小于 500 的结果有 2 种，故 = = 3，2 2 不小于 500 的结果有 4 种，故 ( = 1) = 3. = 1 × 1 +1 × 2 5所以 ( ) 2 3 3 = 6. 故选：D. 【变式 1-1】（23-24 高二下·陕西宝鸡·阶段练习）若随机变量 的分布列如表，则 ( ) = （ ） 1 2 3 4 1 1 1 4 4 3 A 12． 5 B 31 19 8 ．12 C．12 D．5 【解题思路】由分布列的性质求出 ，利用期望公式计算 ( ). 1 1 1 1 【解答过程】根据题意可得 = 1 4 4 3 = 6， 则 ( ) = 1 × 1 1 1 1 31 4 +2 × 4 +3 × 6 +4 × 3 = 12. 故选：B. 【变式 1-2】 ... ...