专题7.5 正态分布【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第三册）（含答案）2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题 7.5 正态分布【八大题型】 【人教 A 版（2019）】 【题型 1 正态密度函数】 ........................................................................................................................................2 【题型 2 正态曲线的特点】 ....................................................................................................................................3 【题型 3 利用正态曲线的对称性求概率】 ............................................................................................................4 【题型 4 根据正态曲线的对称性求参数】 ............................................................................................................4 【题型 5 利用 3σ 原则求概率】 ..............................................................................................................................5 【题型 6 标准正态分布的应用】 ............................................................................................................................6 【题型 7 正态分布的实际应用】 ............................................................................................................................6 【题型 8 正态分布与其他知识综合】 ....................................................................................................................7 【知识点 1 正态分布】 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为 0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数 f(x)= ，x∈R.其中 μ∈R，σ>0 为参数.我们称 f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量 X 的概率分布密度函数为 f(x)，则称随机变量 X 服从正态分布，记为 .特别地， 当 μ=0，σ=1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若 ，则 E(X)=μ，D(X)=σ2. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线 x=μ 对称； (3)曲线在 x=μ 处达到峰值 ； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近 x 轴； (5)对任意的 σ>0，曲线与 x 轴围成的面积总为 1； (6)在参数 σ 取固定值时，正态曲线的位置由 μ 确定，且随着 μ 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示； (7)当 μ 取定值时，正态曲线的形状由 σ 确定，当 σ 较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量 X 的 分 布比较集中；当 σ 较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量 X 的分布比较分散，如图乙所示. 4．3σ 原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ 原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布 N(μ,σ2)的随机变量 X 只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学 中称为 3σ 原则. 5．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴 x=μ； (2)标准差 σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由 μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转 化为 3σ 特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x=0. 【题型 1 正态密度函数】 1 【例 1】（23-24 高二上·全国·课后作业）设随机变量 X 服从正态分布，且相应的概率密度函数为 ( ) = 6π 2 4 +4 e 6 ，则（ ） A． = 2, = 3 B． = 3, = 2 C． = 2, = 3 D． = 3, = 3 ( + )21 1 ( )2 【变式 ... ...