高二下学期第一次月考解答题压轴题十七大题型专练（含答案）2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025 学年高二下学期第一次月考解答题压轴题十七大题型专练 【人教 A 版（2019）】 题型 1 曲线的切线问题 1．（23-24 高二下·福建福州·阶段练习）已知函数 ( ) = 2 3 +3 2 +1( ∈ ). (1)若 = 1是 ( )的极大值点，求 ( )在(1, (1))处的切线方程； (2)求 ( )的单调区间； 【解题思路】（1）根据 = 1是 ( )的极大值点求出 = 1，再利用导数求切线斜率，即可求 ( )在(1, (1)) 处的切线方程； （2）求出 ′( ) = 6 ( + )，分三种情况讨论，分别判断导函数的符号，即可求出 ( )的单调区间； 【解答过程】（1）根据题意，函数 ( ) = 2 3 +3 2 +1，其定义域为 R， ∵ ′( ) = 6 2 + 6 = 6 ( + ) 令 ′( 1) = 0得 = 1， 经检验， = 1符合题意， ∴ ( ) = 2 3 + 3 2 + 1, ′( ) = 6 ( + 1) ∴ (1) = 6, ′(1) = 12 则 ( )在点(1, (1))的切线方程为 6 = 12( 1)，即12 6 = 0； （2）根据题意，函数 ( ) = 2 3 +3 2 +1，其导数 ′( ) = 6 2 +6 = 6 ( + )，分 3 种情况讨论： ①当 = 0时， ′( ) = 6 2 ≥ 0，则 ( )在( ∞, + ∞)上为增函数； ②当 > 0时，若 ′( ) = 6 ( + ) > 0，解可得 < 或 > 0， 则 ( )的递增区间为( ∞, )和(0, + ∞)， 递减区间为( ,0)； ③，当 < 0时，若 ′( ) = 6 ( + ) > 0，解可得 < 0或 > ， 则 ( )的递增区间为( ∞,0)和( , + ∞)， 递减区间为(0, )； 综上可得：当 = 0时， ( )在( ∞, + ∞)上为增函数； 当 > 0时， ( )的递增区间为( ∞, )和(0, + ∞)，递减区间为( ,0)； 当 < 0时， ( )的递增区间为( ∞,0)和( , + ∞)，递减区间为(0, ). 2．（23-24 高二下·山东烟台·期末）已知函数 ( ) = ( 2 + + 1)e ( ∈ ). (1)当 = 2时，求过点(1,0)且与 ( )图象相切的直线的方程； (2)讨论函数 ( )的单调性. 【解题思路】（1）求导得 ′( ) = ( 2 1)e ，设切点( 0, 0)，写出切线方程，代入(1,0)，即可得到答案； （2）求导 ′( ) = ( + + 1)( + 1)e ，分 > 0, = 0, < 0讨论即可. 【解答过程】（1）当 = 2时， ( ) = ( 2 2 + 1)e ，所以 ′( ) = ( 2 1)e . 设切点为( 0, 0)，则 0 = 2 2 + 1 e 00 0 , = 2 1 e 0 0 ， 所以，切线方程为 20 2 0 + 1 e 0 = 20 1 e 0( 0)， 将(1,0)代入得( 0 1)2 0 = 0，解得 0 = 0或 0 = 1， 故过(1,0)的切线方程为 = 0或 + 1 = 0. （2） ′( ) = (2 + )e + ( 2 + + 1)e = ( + + 1)( + 1)e . 当 = 0时， ′( ) = ( + 1)2e ，恒有 ′( ) ≥ 0，函数 ( )单调递增， 当 > 0时， 1 < 1，当 ∈ ( ∞, 1)，或 ∈ ( 1, + ∞)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增， 当 ∈ ( 1, 1)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减， 当 < 0时， 1 > 1，当 ∈ ( ∞, 1)，或 ∈ ( 1, + ∞)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增， 当 ∈ ( 1, 1)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减. 综上，当 = 0时， ( )在 上单调递增， 当 > 0时， ( )在( ∞, 1),( 1, + ∞)上单调递增，在( 1, 1)上单调递减， 当 < 0时， ( )在( ∞, 1),( 1, + ∞)上单调递增，在( 1, 1)上单调递减. 3．（23-24 高二下·贵州黔西·期末）已知函数 ( ) = e +1 2 （e为自然对数的底数）. (1)当 = 1时，求曲线 = ( )在( 0,0)处的切线方程； (2)若 ( )有极小值且极小值不小于 0，求实数 的取值范围. 【解题思路】（1）由导数的几何意义求切线方程； （2）由 ′( ) = 0有解得出 的范围，并验证此解为极小值点，求出极小值，再判断出极小值不小于 0 时的参 数范围. 【解答过程】（1） = 1，则 ( ) = e +1 + ， ′( ) = e +1 +1， 显然 ( )是增函数，又 ( 1) = e 1+1 1 = 0，所以 ( 0) = 0 0 = 1， ′( 1) = 2， 切线方程为 = 2( + 1)，即2 + 2 = 0； （2）由已知 ′( ) = e +1 ， ( )有极小值，则e +1 = 0有解，由 = e +1，得 > 0， 设 ′( ) = 0的 ... ...