高二下学期第一次月考选择题压轴题十四大题型专练（含答案）2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025 学年高二下学期第一次月考选择题压轴题十四大题型专练 【人教 A 版（2019）】 题型 1 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程 1．（24-25 1高二下·重庆·阶段练习）设函数 ( ) = 3 3 +3，则曲线 = ( )在点（3，－6）处的切线方程 为（ ） A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19 C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21 【解题思路】先求出切线的斜率，再求出切线的方程即得解. 1 【解答过程】解：因为函数 ( ) = 3 +3，所以 ′( ) = 2，所以 ′3 (3) = 9， 所以切线的斜率为 9. 所以曲线 = ( )在点（3，－6）处的切线方程为 y＋6＝－9（x－3）， 即 y＝－9x＋21. 故选：D. 2．（23-24 高三上·四川成都·期末）已知函数 ( )是偶函数，当 < 0时， ( ) = 3 + 1，则曲线 = ( ) 在 = 1处的切线方程为（ ） A．2 + 1 = 0 B．2 3 = 0 C．2 + 3 = 0 D．2 1 = 0 【解题思路】首先由奇偶性求得 > 0时 ( )的解析式，再结合导数的几何意义求切线方程即可. 【解答过程】因为 < 0， ( ) = 3 + 1， ( 1) = 1， 又由 ( )是偶函数， ∴ (1) = 1， 令 < 0，则 ( ) = 3 + + 1， 根据 ( )是偶函数， ( ) = ( )， 得到 > 0时， ( ) = 3 + + 1， 所以， > 0时， ′( ) = 3 2 +1， ′(1) = 2， 故曲线 = ( )在 = 1处的切线方程为 1 = 2( 1)， 即2 + 3 = 0. 故选：C. 3．（2024·全国·模拟预测）过原点可以作曲线 = ( ) = 2 | | +1的两条切线，则这两条切线方程为 （ ） A． = 和 = B． = 3 和 = 3 C． = 和 = 3 D． = 和 = 3 【解题思路】由解析式得 ( )为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于 y轴对称，再由导数几何意义求 > 0 上的切线，结合偶函数对称性写出另一条切线. 【解答过程】由 ∈ , ( ) = ( )2 | | + 1 = 2 | | + 1 = ( )，得 ( )为偶函数， 故过原点作的两条切线一定关于 y 轴对称． 当 > 0时， ( ) = 2 + 1，则 ′( ) = 2 1， 2 设切点为 20, 0 0 + 1 ( > 0) 2 1 = 0 0+1 0 0 ，故 0 0 ，解得 0 = 1或 0 = 1（舍），0 所以切线斜率为 1，从而切线方程为 = ． 由对称性知：另一条切线方程为 = ． 故选：A. 4．（23-24 3 3 3高二下·江西·阶段练习）过点 , 且与曲线 = ( ) = 相切的直线方程为（ ）2 2 A．6 + 4 15 = 0 B．3 + 6 = 0 C． + 3 6 = 0 D．4 + 6 15 = 0 3 3 3 【解题思路】设出切点( 0, )，利用导数的几何意义得出切线方程为 = 2( 0)，再利用条件得到方0 0 0 程 20 4 0 +3 = 0，从而求出 0，进而可求出切线方程. 3 3 3 3 3 【解答过程】设切点为( 0, )，因为 = ′ ，所以 = 2，故切线方程为 0 = 0 2( 0)，0 3 3 3 3 3 3 又因为切线过点 , ，所以2 = 2(2 0)，整理得 2 0 4 0 +3 = 0，解得 0 = 3或 = 1，2 2 0 00 当 0 = 3 3 3 时，切线方程为 3 = 9( 3)，即 + 3 6 = 0， 当 0 = 1 3 3 ，切线方程为 1 = 1( 1)，即3 + 6 = 0. 故选：BC. 题型 2 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 5．（23-24 高二下·湖北·期中）若直线 + + = 0是曲线 ( ) = 3 + 14与曲线 ( ) = 2 3ln 的公切 线，则 = （ ） A．26 B．23 C．15 D．11 【解题思路】先由 ( ) = 2 3ln ，利用切线斜率为-1 求得切点，再将切点代入切线方程求得 a，然后设切 线与 ( )的切点为( , 3 + 14)，利用切线斜率为-1 和切点在切线上求解. 【解答过程】解：因为 ( ) = 2 3ln ， 3 3 3 所以 ′( ) = 2 ，由2 = 1，解得 = 1或 = 2（舍去）， 所以切点为(1,1)， 因为切点在切线 + + = 0上，解得 = 2， 所以切线方程为 + 2 = 0， ′( ) = 3 2 + 设切点为( , 3 + 14)， 2 3 + = 1 = 13 由题意得 + 3 + 14 2 = 0 ，解得 = 2 ， 所以 = 11， 故选：D. 6．（23-24 高二下·四川绵阳·期中）若直线 = + 是曲线 = ln + 2的切线，也是曲线 = ln( + 1)的切 线，则 = （ ） A．2 B．3 ... ...