安徽省安庆市2025届高三第三次模拟考试数学试卷（含答案）

安徽省安庆市2025届高三第三次模拟考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数的共轭复数是( ) A. B. C. D. 2.等比数列中的，是函数的极值点，，则( ) A. B. C. D. 3.已知向量，满足，，且，则( ) A. B. C. D. 4.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为( ) A. B. C. D. 5.已知函数满足，当时，，则( ) A. B. C. D. 6.正四棱台上底面边长为，下底面边长为，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为( ) A. B. C. D. 7.已知点在圆上，，，则的最小值为( ) A. B. C. D. 8.已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.一口袋中有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中无放回的随机取两次，每次取个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件：取出的两球同色；事件：取出的两球中至少有一个红球，则( ) A. 事件，为互斥事件 B. 事件，为独立事件 C. D. 10.设函数，则( ) A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. ，图象对称中心的横坐标不变 11.如图，棱长为的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则直线与直线所成角的最小值为 D. 若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则 ． 13.已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数 ． 14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知数列中，，设为前项和，． 求的通项公式 若，求数列的前项和． 16.本小题分 如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点． 证明：； 若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 17.本小题分 已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局． 如果约定先净胜两局者获胜，求恰好局结束比赛的概率； 如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束甲、乙有一方先净胜三局时需进行的局数为，期望为． 求甲获胜的概率； 求． 18.本小题分 已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点 求椭圆的标准方程 试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由． 19.本小题分 已知函数． 当时，求的极值； 若，求的值； 求证：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：数列中，，为前项和， 当时，，， 当时，，， 由得：，， 即， 可得当时，，递推可得：， ，，， 由累乘法可得：， 所以， 又因为，所以，即， 经检验，当时符合上式，所以； 由可知，， 所以 ， 所以 ， 所以数列的前项和． 16.取中点，连接 平面平面，平面平面平面 平面 平面 ，即 又平面平面 平面 连接，设，连接 平面平面，平面平面 ，易知 取中点，连接，则两两互相垂直． 分别以为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系 则 ， ， 设平面的一个法向量 则即令，则 设直线与平面所成角为，则 即直线与平面所成角的正弦值为 17.局结束比赛时甲获胜，则在前局甲乙各胜一局，并且第，局甲胜， 概率为；局结束比赛时乙获胜，则在前局甲乙各胜一局，并且第，局乙胜 ... ...