第二章 §3 A组·基础自测 一、选择题 1．下列结论不正确的是( D ) A．若y＝0，则y′＝0 B．若y＝5x，则y′＝5 C．若y＝x－1，则y′＝－x－2 [解析] 当y＝时，y′＝＝()′＝＝.D不正确．故应选D. 2．函数y＝xe的导数是( B ) A．y′＝xe B．y′＝exe－1 C．y′＝exe D．y′＝ln x [解析] y′＝(xe)′＝exe－1，故选B. 3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝( C ) A．2 B．ln 3 C. D．－ln 3 [解析] f ′(x)＝axln a，由f ′(1)＝aln a＝ln 27， 解得a＝3，则f ′(x)＝3xln 3，故f ′(－1)＝. 4．曲线y＝在点处的切线方程为( B ) A．4x－4y＋2－1＝0 B．4x－4y＋1＝0 C．4x－4y＋2－＝0 D．4x＋4y－3＝0 [解析] 由于y＝，所以y′＝，于是＝1，所以曲线在点处的切线的斜率等于1，切线方程为4x－4y＋1＝0.故选B. 5．(多选)函数y＝在点P处的切线斜率为－4，则P的坐标为( AC ) A. B． C. D． [解析] ∵y＝，∴y′＝－， ∵曲线y＝在点P的切线的斜率为－4， ∴－＝－4，∴x＝±，∴y＝±2. 即点P或，故选AC. 二、填空题 6．函数f(x)＝，则f ′(x)＝ ，f ′＝ . [解析] 因为f(x)＝＝， 所以f ′(x)＝. 7．曲线y＝cos x在x＝处的切线方程为 x＋y－＝0 . [解析] 因为cos＝0，即求曲线y＝cos x在点处的切线方程， y′＝－sin x，当x＝时，y′＝－1. 所以切线方程为y＝－1·， 即x＋y－＝0. 8．设函数f(x)＝sin x＋cos x，则′＝_0__. [解析] 方法一：f(x)＝· ＝sin， 所以f＝sin＝， 所以′＝()′＝0. 方法二：因为f为常数，y＝c(常数)的导函数为y＝0，所以′＝0. 三、解答题 9．求下列函数的导数： (1)f(x)＝，x>0；(2)y＝； (3)y＝－2sin；(4)y＝log2x2－log2x. [解析] (1)因为f(x)＝＝，x>0，(xα)′＝α·xα－1，所以f′(x)＝＝，x>0. (2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－，x≠0. (3)因为y＝－2sin ＝2sin＝2sincos＝sin x， 所以y′＝(sin x)′＝cos x，x∈R. (4)因为y＝log2x2－log2x＝log2x，x>0， 所以y′＝(log2x)′＝，x>0. 10．已知点P在曲线y＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线． (1)求a的值； (2)求过点P与直线l垂直的直线方程． [解析] (1)因为P在曲线y＝cos x上，所以a＝cos＝. (2)因为y′＝－sin x， 又因为所求直线与直线l垂直， 所以所求直线的斜率为－＝， 所以所求直线方程为y－＝， 即y＝x－＋. B组·能力提升 一、选择题 1．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为( C ) A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 [解析] ∵y＝ln x的导数y′＝，令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)，代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1. 2．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( A ) A.∪ B．[0，π) C. D．∪ [解析] 因为y′＝cos x，而cos x∈[－1,1]．所以直线l的斜率的范围是[－1,1]，所以直线l倾斜角的范围是∪. 3．(多选)下列曲线的切线中，不存在两条互相垂直的切线的曲线是( ABC ) A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3 C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x [解析] 若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为－1，或一条切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0.A中，f′(x)＝ex>0，B中f′(x)＝3x2≥0，C中f′(x)＝(x>0)，故ABC中均不存在互相垂直的切线．而D中f′(x)＝cos x，其可正可负，一定存在使cos x1·cos x2＝－1的情形． 二、填空题 4．正弦曲线y＝sin x(x∈(0,2π))上切线斜率等于的点为 或 . [解析] y′＝(sin x)′＝cos x＝， 因为x∈(0,2π)，所以x＝或. 所以正弦曲线y＝sin x(x∈(0,2π))上切线斜率等于的点为或. 5．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋.若a1＝16，则 ... ...
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