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课件网) 第二章 导数及其应用 §2 导数的概念及其几何意义 2．1 导数的概念 2．2 导数的几何意义 素养目标 定方向 1．了解导数的概念；理解导数的几何意义． 2．会用导数的定义求导数． 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 1．通过对导数的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，培养数学运算素养. 必备知识 探新知 导数的概念 知识点 1 固定的值 瞬时变化率 想一想： f′(x)与f′(x0)相同吗？它们之间有何关系？ 提示：f′(x)与f′(x0)不相同．f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值，是函数f′(x)在x＝x0时的函数值． 练一练： 1．函数y＝x2在x＝1处的导数为( ) A．2x B．2＋Δx C．2 D．1 C 2．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝f ′(1)＝2，则f(2)＝_____. 4 导数的几何意义 知识点 2 相切 斜率 想一想： 如图所示，直线l是曲线y＝f(x)在点P0处的切线，这与以前学习的直线与圆相切时，直线与圆有且仅有一个公共点是否相同？如何理解？ 提示：不相同．曲线y＝f(x)在某点处的切线只是在切点P0附近区域上只有一个公共点，但该切线与这条曲线公共点可能不止一个，因此，直线l是曲线y＝f(x)在切点P0处的切线，但在点A处不是曲线的切线． 练一练： 1．函数y＝f(x)的图象如图所示，下列描述错误的是( ) A．x＝－5处比x＝－2处变化快 B．x＝－4处呈上升趋势 C．x＝1和x＝2处增减趋势相反 D．x＝0处呈上升趋势 [解析] 根据导数的几何意义：f′(－5)>0，f′(－4)>0，f′(－2)＝0，f′(0)<0，f′(1)f′(2)<0，判断可知D错误． D 2．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是_____. [解析] 切线的斜率为k＝－1. 所以点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. x＋y－3＝0 关键能力 攻重难 题|型|探|究 题型一 导数概念的理解 典例 1 [分析] 本题考查对导数形式化定义的认识，根据导数的定义来求解， 需明确Δx，Δy的含义． B 对点训练 C (1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是( ) 题型二 导数几何意义的应用 典例 2 B (2)某家电制造集团提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( ) B [解析] (1)由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时，f′(x)>0；当x＝0时，f′(x)＝0；当x>0时，f′(x)<0，故B符合． (2)从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高． [规律方法] 导数几何意义理解中的两个关键 关键点一：y＝f(x)在点x＝x0处的切线斜率为k，则k>0 f′(x0)>0; k<0 f′(x0)<0; k＝0 f′(x0)＝0. 关键点二：|f′(x0)|越大 在x0处瞬时变化越快；|f′(x0)|越小 在x0处瞬时变化越慢． 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( ) 对点训练 [解析] 依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数y＝f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足． A [分析] 求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x＝x0处的导数表达式，再把x的值代入求导数值． 题型三 求切线方程 典例 3 [规律方法] 利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点 ... ...
