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课件网) 第一章 数 列 *§5 数学归纳法 素养目标 定方向 1．了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 通过对数学归纳法原理的学习与应用，提升逻辑推理素养. 必备知识 探新知 数学归纳法 知识点 一般地,证明某些与正整数n有关的数学命题,可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值_____(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立； (2)(归纳递推)假设当_____时命题成立，证明当_____时，命题也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 上述证明方法叫作数学归纳法． [提醒] 在第二个步骤证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须利用归纳假设，即必须用上“假设当n＝k时命题成立”这一条件． n0 n＝k(k∈N＋，k≥n0) n＝k＋1 想一想： 1．验证的第一个值n0一定是1吗？ 2．在第二步证明中，必须从归纳假设用综合法证明吗？ 提示：不是，在归纳递推中，可以应用综合法、分析法、反证法、放缩法等各种证明方法． 练一练： 1．用数学归纳法证明“2n>n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取( ) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析] 显然当n＝1时，21>12，而当n＝2时，22＝22，A错误；当n＝3时，23<32，B错误；当n＝4时，24＝42，C错误；当n＝5时，25>52，符合要求，D正确． D (2k＋1)＋(2k＋2) 关键能力 攻重难 题|型|探|究 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N＋. [证明] ①当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2， 那么当n＝k＋1时， 题型一 用数学归纳法证明等式 典例 1 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2， 即当n＝k＋1时等式也成立． 根据①和②可知等式对任何n∈N＋都成立． [规律方法] 用数学归纳法证明等式的规则 (1)用数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据． (2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少，同时第二步由n＝k到n＝k＋1时要充分利用假设，不利用n＝k时的假设去证明，就不是数学归纳法． 对点训练 则当n＝k＋1时， 即当n＝k＋1时等式成立． 由①②可得，对于任意的n∈N*等式都成立. [分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化． 题型二 用数学归纳法证明不等式 典例 2 [规律方法] 用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是： (1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明． (2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论． 对点训练 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立. 证明：n3＋5n(n∈N＋)能够被6整除． [证明] ①当n＝1时，n3＋5n＝6，显然能够被6整除，命题成立． ②假设当n＝k时，命题成立，即n3＋5n＝k3＋5k能够被6整除， 当n＝k＋1时，n3＋5n＝(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6， 由假设知：k3＋5k能够被6整除， 而k(k＋1)为偶数，故3k(k＋1)能够被6整除， 故(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6能够被6整除， 题型三 用数学归纳法证明整除问题 ... ...
