河南省开封市2025届高三年级下学期第三次质量检测（开封三模）（4.27-4.28）数学(pdf版,含答案)

2025 届高三年级第三次质量检测 数学参考答案 注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D B B C C A 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 题号 9 10 11 答案 BC AC ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 2 12． 1 13． 14．145 2 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分） （1）由已知，得 sin A B cosB cos A B sinB=0，即 sin A 2B =0，………3 分 因为0 A，B ，所以 2 A 2B ， 所以 A 2B=0，或 A 2B= .………6 分 （2）因为 a b，所以 A B，………7分 若 A 2B= ，则 A=2B 0，B A，所以 A=2B，………8 分 2 a = sin A a = sin2B a 2sinBcosB所以 = cosB= a 6 cosB= ，………11 分 b sinB b sinB b sinB 2b 4 所以 cos A=cos2B=2cos2 B 1=2 ( 6 )2 1 1 ………13 分 4 4 16.（15 分） （1）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3．………1分 P(X 0) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) 1 ， 2 3 4 4 P(X 1 1 1 1) (1 ) (1 ) (1 1 ) 1 (1 1 ) (1 1 ) (1 1 1 11 ) ， 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 P(X 2) (1 1 ) 1 1 1 (1 1) 1 1 1 1 1 (1 ) ， 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 P(X 3) 1 1 1 1 ， 2 3 4 24 所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 1 11 1 1 P ………5分 4 24 4 24 随机变量 X 的数学期望E(X ) 0 1 1 11 1 2 3 1 13 ．………7 分 4 24 4 24 12 （2）记事件 A为该棋手恰连胜两盘，则该棋手在第二盘一定为胜，设该棋手在第二盘与甲、乙、丙比赛且 1 恰连胜两盘的概率分别为 P甲， P P乙， 丙 ，则 P 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1甲 A 2 1 1 P A2 2 ， 乙 2 1 1 = ， 2 3 4 4 3 12 3 2 4 4 2 3 P A2 1 1 1 1 1 1 1 1丙 2 4 ，………13 分 2 3 3 2 4 5 1 1 因为 ，所以 P甲 P乙 P丙，………14 分12 3 4 所以 P甲最大，即棋手在第二盘与甲比赛恰连赢两盘的概率最大．………15 分 17.（15 分） （1） f (x) e x x2+ 2 a x+a 1 ，………1 分 2 2 方程 x + 2 a x+a 1 0的 = 2 a +4 a 1 =a2 0，………2 分 2 所以方程 x + 2 a x+a 1 0 x 2有解，即方程 e x + 2 a x+a 1 =0有解，………3 分 所以 f x 存在斜率为 0 的切线.………4 分 x2（2）解方程 + 2 a x+a 1 0，得 x 1或x=1 a，………5分 ① a=0时， f (x) 0， f x 单调递减，无极值；………6 分 ② a 0时，由 f (x) 0，得1 x 1 a，由 f (x) 0，得 x 1或x 1 a，………7分 所以 f x 在 1，1 a 上单调递增，在 ，1 ， 1 a，+ 上单调递减，………8 分 1 极小值为 f 1 e a 2 ，由 f 1 0得 a 2；………10 分 ③ a 0时，由 f (x) 0，得1 a x 1，由 f (x) 0，得 x 1 a或x 1，………11 分 所以 f x 在 1 a，1 上单调递增，在 ，1 a ， 1，+ 上单调递减，………12 分 极小值为 f 1 a ea 1 2 a ，由 f 1 a 0得 a 2，………14 分 综上所述， a的取值范围为 ， 2 2，+ .………15 分 18.（17 分） （1）证明：连接 AC1，BC1，在 ABC1中， E，F 分别是 AB，A1C的中点，所以 EF∥BC1， 因为 AC EF，所以 AC BC1，………1分 直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC CC1，………2 分 又CC1 BC1=C1，CC1、BC1 平面 BCC1B1，所以 AC 平面BCC1B1，………3 分 又 BC 平面 BCC1B1，所以 AC BC .………4 分 （2）（i）作C1P A1B1于点 P，连接CP， 又因为 A1B1 CC1，C1P CC1=C1，C1P，CC1 平面A1B1C ， 所以 A1B1 平面PCC1,………5 分 又 A1B1 平面A1B1C，所以平面PCC1 平面A1B1C，…… ... ...