第五章　§5.4　平面向量中的综合问题（课件 学案 练习，共3份）2026届高考数学一轮复习

§5.4　平面向量中的综合问题 分值：52分 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·昆明模拟)设x>0，向量=(x2，-2x)在向量=(1，2)上的投影向量为λ(λ∈R)，则实数λ的最小值为(　　) A.- B.- C.- D.- 2.已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若|--|=1，则||的最大值是(　　) A.2-1 B.2 C.2+1 D.2+2 3.已知非零向量与满足·=0且·=，则△ABC的形状是(　　) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4.在△ABC中，AC=9，∠A=60°，点D满足=2，AD=，则BC的长为(　　) A.3 B.3 C.3 D.6 5.在平行四边形ABCD中，点P在对角线AC上(包含端点)，且AC=2，则(+)·有(　　) A.最大值为，没有最小值 B.最小值为-，没有最大值 C.最小值为-，最大值为4 D.最小值为-4，最大值为 6.(2024·呼和浩特模拟)在△ABC中，D为线段AC的一个三等分点，AD=2DC.连接BD，在线段BD上任取一点E，连接AE，若=a+b(a，b∈R)，则a2+b2的最小值为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有(　　) A.若=+)，则点D是边BC的中点 B.若=，则直线AD过△ABC的垂心 C.若=2-，则点D在边BC的延长线上 D.若=x+y，且x+y=，则△BCD是△ABC面积的一半 8.已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足+2=0，=2，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是(　　) A.∥ B.=+ C.·<0 D.S=4 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知向量a=(-3，2)，b=(2，1)，则|a+tb|(t∈R)的最小值为　　　　　　，此时t的值为　　　　　　. 10.(2025·长沙模拟)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AC=，AB=1，平面ABC内动点P满足CP=1，则·的最小值为　　　　　　. 答案精析 1.A　2.C 3.C　[由·=0，得角A的平分线垂直于BC， 所以AB=AC，设的夹角为θ， 而·=cos θ= 又θ∈[0，π]，所以θ=∠A=π-=故△ABC为等腰三角形.] 4.A　[因为=2 所以=+=+ =+-) =+ 设AB=x，x>0， 则||2= 得37=x2+×x×9cos 60°+×92， 即2x2+9x-126=0， 解得x=6(舍负)，即AB=6， 所以||=|-|= ==3.] 5.C　[设AC与BD的交点为O，则+=2所以(+)·=2· 如图(1)，当点P在AO上，设||=a∈[0，1]，(+)·=2·=-2a(1-a)，当a=时，有最小值为-. 如图(2)，当点P在CO上，设||=a∈[0，1]，(+)·=2·=2a(1+a)，当a=1时，有最大值为4. 综上，(+)·有最小值为-最大值为4.] 6.C　[设=λλ∈[0，1]， 因为AD=2DC，所以=+=+λ=+λ(+) =+(1-λ) 所以a=b=1-λ， 所以a2+b2=λ2+(1-λ)2 =λ2-2λ+1， 当λ=-=时，a2+b2取得最小值为.] 7.ABD　[对于A， ∵=+)， 即-=-即= 即点D是边BC的中点，故A正确； 对于B· = =(-||+||)=0， 即AD⊥BC， 故直线AD过△ABC的垂心，故B正确； 对于C，∵=2-即-=-即= 即点D在边CB的延长线上，故C错误； 对于D，∵=x+y且x+y=设=2 则=2=2x+2y且2x+2y=1，故M，B，C三点共线，且||=2||， 即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确.] 8.BCD　[由+2=0， =2 可知点P为AC的靠近点C的三等分点，点Q为AB延长线上的点，且B为AQ的中点，如图所示，对于A，点P为AC的靠近点C的三等分点，点B为AQ的中点，所以PB与CQ不平行，故A错误； 对于B=+=+=+-)=+故B正确； 对于C·=||||cos π=-||||<0，故C正确； 对于D，设△ABC的高为h，S△ABC=|AB|h=3，即|AB|h=6，则△APQ的面积S=|AQ|·h=·2|AB|·h=×6=4，故D正确.] 9.　 解析　因为a=(-3，2)，b=(2，1)， 所以a+tb=(-3，2)+t(2，1) =(-3+2t，2+t)， 所以|a+tb| = == ≥=. 当且仅当t=时取等号， 即|a+tb|的最小值为此时t=. 10.4- 解析　平面ABC内动点P满足CP=1，所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 因为AB⊥AC，AC=AB=1， 由勾股定理可得BC2=AB2+AC2=4， 所以BC=2，且cos C== 所以C=30°， 所以·=| ... ...