2024-2025 学年北京市大兴区高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.复数 3的值是( ) A. B. 1 C. 1 D. 2.sin 12 =( ) A. 6+ 24 B. 6 2 4 C. 2 3 D. 2 + 3 3.已知向量 = (1, )， = ( 1, )，且 ⊥ ，则| | =( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 4 4.函数 ( ) = 2 + 的最大值是( ) A. 3 B. 3 C. 5 D. 5 5.已知复数 在复平面内对应的点为( 2,1)，则| |2 =( ) A. 3 B. 3 4 C. 5 4 D. 5 6.在△ 中，“ < ”是“ > ”成立的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.如图，在等腰梯形 中， // ， = 4，∠ = 60°， 为 边上 一点，且满足 = 2 ，若 = 4，则 =( ) A. 4 B. 8 C. 4 D. 8 8.设 是坐标原点，单位圆 上一点 ，射线 绕着 点逆时针旋转 后得到 ， 为与单位圆的交点， 的 坐标为( , )，则 的坐标为( ) A. ( + , ) B. ( , + ) C. ( + , ) D. ( , + ) 9.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2，点 在正方形 的边界及其内部运动，且满足 1 ≤ 5， 则四面体 1 的体积的最小值是( ) A. 23 B. 43 C. 4 2 23 D. 4 2 2 第 1页，共 9页 10.在△ 中， = 5， = 6，cos = 1， 是△ 的内心，若 = + 5 ，其中 , ∈ [0,1]， 则动点 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A. 10 6 14 63 B. 3 C. 4 3 D. 6 2 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11.已知 = 12，则 2 = _____． 2+ 12.已知复数 = 1+ ，则 + = _____． 13.如图，梯形 ′ ′ ′ ′是水平放置的平面图形 用斜二测画 法得到的直观图， ′ ′ = 2 ′ ′ = 2， ′ ′ = 1，则在平面图 形 中， = _____；图形 的面积为_____． 14.在水流速度大小为 10 / 的河中，如果要使船实际以 10 3 / 大小的速度与河岸成直角横渡，则船 速大小应设定为_____ / ；船速设定方向与水流方向成角的大小为_____． 15.已知△ 中， = 10， + = 2，若点 是边 上一点， 是 的中点，给出下列四个结 论： ①若( + ) = 0，则| + | = 6； ②若 在 方向上的投影向量为 ，则| | 10的最小值为 4 ； ③若| | = 6 222 ，则| |的最大值为 2 ； ( + ④若 ) = 0，则 ( + )为定值 18．| | | | 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题 14 分) 已知复数 21 = ( 2) (2 + 4) ， 2 = ( 2 + 1) ， ∈ ． (Ⅰ)当 = 0 时，求| 1 + 2|的值； (Ⅱ)若复数 = 1 2为纯虚数，求 1 2的值． 17.(本小题 14 分) 7 2 已知 sin( + 4 ) = 10 ， ∈ (0, 4 )． (Ⅰ)求 的值； (Ⅱ) 求 tan(2 + 4 )的值． 第 2页，共 9页 18.(本小题 14 分) 在△ 中， = 2 ( + ) ． (Ⅰ)求∠ 的大小； (Ⅱ)若 = 8，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ 存在，求 边上中线的长． 条件①： = 7 2；条件②： = 3；条件③：△ 的面积为 10 3． 注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答 计分． 19.(本小题 14 分) 已知平面四边形 2 的边长满足 = ， = 1， = 3，且∠ = 3． (Ⅰ)若 cos∠ = 336 ，求∠ 的大小； (Ⅱ)若∠ + ∠ = ，求四边形 的面积． 20.(本小题 14 分) 如图，在正四棱锥 中，侧棱 长为 1，记∠ = ，其体积记为 ( )，表面积记为 ( )． (Ⅰ) 求 ( 3 )的值； (Ⅱ)求 ( )的解析式，并直接写出 的取值范围； (Ⅲ)试判断 ( )是否存在最值，并说明理由． 21.(本小题 15 分) 如图，设 ， 是平面内相交成 (0 < < )角的两条射线， 1 , 2 分别为 ， 同向的单位向量，定义 平面坐标系 为 仿射坐标系.在 仿射坐标系中，若 = 1 + 2 ... ...
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