2024-2025 学年北京市育才学校高二（下）期中数学试卷 一、单选题：本大题共 10 小题，共 40 分。 1 1.已知 ( ) = ，则 ′(1) =( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 2.下列求导运算正确的是( ) A. ( + 1)′ = B. ( 1 )′ = C. ( )′ = D. ( )′ = 1 3.袋中共有 5 个球，其中 3 个白球，2 个黑球．从袋中抽取 2 个球，其中恰有一个白球的概率为( ) A. 35 B. 3 4 C. 1 3 2 D. 10 4 (2) (1).已知函数 ( )在 上可导，其部分图象如图所示，设 2 1 = ，则下列不等式正确的是( ) A. ′(1) < ′(2) < B. ′(1) < < ′(2) C. ′(2) < ′(1) < D. < ′(1) < ′(2) 5 1.在等比数列{ 15 }中， 1 = 2， 4 = 4 .若 = 2 ，则 =( ) A. 17 B. 16 C. 14 D. 13 6.设{ }是公比为 的等比数列，则“ > 1”是“{ }为单调递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若等差数列{ }满足 8 > 0， 7 + 10 < 0，则当{ }的前 项和最大时， =( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件 = {两个点数互不相同}， = {出现一个 5 点}，则 ( | ) =( ) A. 13 B. 5 1 18 C. 6 D. 1 4 9.等比数列{ }中， 1 = 8， 4 = 1，记 = +1， ∈ ，则数列{ }( ) 第 1页，共 9页 A.无最大项，无最小项 B.有最大项，有最小项 C.无最大项，有最小项 D.有最大项，无最小项 10.已知 是等差数列{ }( ∈ )的前 项和，且 5 > 6 > 4，以下有四个命题： ①数列{ }中的最大项为 10； ②数列{ }的公差 < 0； ③ 10 > 0； ④ 11 < 0． 其中正确的序号是( ) A.②③ B.②③④ C.②④ D.①③④ 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11.已知函数 ( ) = ，则 ′(1) = _____． 12.一个工人看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三台机床不需要照顾的概率为 0.9，0.8，0.8，在一 小时的过程中，求至少有一台机床需要照顾的概率_____． 13.已知{ }为等差数列， 1 为其前 项和.若 1 = 1， 1 + 2 = 3，则公差 = _____，数列{ }的前 5 项 和为_____． 14.是否存在一个各项都小于 5 的无穷递增数列？如果存在，写出一个满足条件的数列的通项公式；如果不 存在，说明理由． 15.已知数列{ }满足 1 > 0， +1 = + ( ≠ 0)，给出下列四个结论： ①存在 ，使得{ }为常数列； ②对任意的 > 0，{ }为递增数列； ③对任意的 > 0，{ }既不是等差数列也不是等比数列； ④对于任意的 ，都有 2 2 ≥ 1 + 2 ( 1)． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.已知等差数列{ }满足： 1 = 2，且 1， 2， 5成等比数列，数列{ }的前 项和为 ． (1)求数列{ }的通项公式，前 项和 ； (2)是否存在正整数 ，使得 > 60 + 800？若存在，求 的最小值；若不存在，说明理由． 17.某高中组织学生研学旅行.现有 ， 两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行.研学旅 行结束后，学校从全体学生中随机抽取 100 名学生进行满意度调查，调查结果如下表： 第 2页，共 9页 高一 高二 高三 地 地 地 地 地 地 满意 12 2 18 3 15 6 一般 2 2 6 5 6 8 不满意 1 1 6 2 3 2 假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立.用频率估计概率． (Ⅰ)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率； (Ⅱ)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取 1 人，估计这 3 人中至少有 2 人选择去 地的概率； (Ⅲ)对于上述样本，在三个年级去 地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生人数的方差为 21，调查结 果为不满意的学生人数的方差为 22，写出 21和 22的大小关系. (结论不要求证明) 18 .已知函数 ( ) = ． (1)求 ( )在点 (1, )处的切线方程； (2) ( ) = ( )，若 ( )的一条切线 恰好经过坐标原点，求 ... ...
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