山东省济南市商河弘德中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题(含详解)

山东省济南市商河弘德中学2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1．已知i为虚数单位，（1＋i）x＝2＋yi，其中x，y∈R，则｜x＋yi｜＝（ ） A．2 B．2 C．4 D． 2．若在中，，且，，则的形状是（ ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3．已知两个单位向量的夹角为，则下列说法正确的有（ ） ①在上的投影向量为② ③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知向量，且，则实数= A． B．0 C．3 D． 5．在中，，则这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．在中，角的对边分别为，若，则等于（ ） A． B． C． D． 7．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿坡角为的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度为（参考数据：取）（ ） A． B． C． D． 8．设向量的夹角为，定义：.若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题） 9．已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ） A． B．的虚部是 C．是纯虚数 D．在复平面上对应点在第四象限 10．在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（ ） A．若 ，则 ； B．若，则一定为等腰三角形； C．若，则为直角三角形； D．若为锐角三角形，则 . 11．已知梯形ABCD中，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若，则点M在线段BC的反向延长线上 D．若，则的面积是面积的3倍 三、填空题（本大题共3小题） 12．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 13．的三边长分别为2，3，4，则该三角形内切圆半径为 14．在中，内角A，B，C的对边分别为，且，，，符合条件的三角形有两个，则实数的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题） 15．化简： （1） （2） 16．在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 17．已知的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且，若，求的面积及边上的中线的长． 18．半径为的圆内接，，为锐角． （1）求的大小； （2）若的平分线交于点，，，求的面积． 19．平面几何中有如下结论：“三角形的角平分线分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即．”已知中，，，为角平分线．过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，， （1）求的值，并说明理由； （2）若，求的最小值． 参考答案 1．【答案】A 【详解】由题意可得：，结合复数的充分必要条件可知：， 则，. 本题选择A选项. 2．【答案】D 【详解】在中，，且，， 则，即，即AB⊥BC，， 则的形状是等腰直角三角形． 故选D. 3．【答案】D 【详解】对于①，在上的投影向量为，故①正确； 对于②，，故②错误； 对于③，，，故③正确；， 对于④，故④正确. 故选D. 4．【答案】C 【详解】试题分析：由题意得，，因为，所以，解得，故选C. 考点：向量的坐标运算. 5．【答案】A 【详解】在△ABC中，，由正弦定理可得：，即. 又. 所以，即. 有. 所以△ABC为等腰三角形. 故选A. 6．【答案】C 【详解】，所以， 所以，即，解得， 由余弦定理有， 而，所以. 故选C. 7．【答案】A 【详解】， ，． 由正弦定理得，即， 可得． 所以山的高度为 故选A． 8．【答案】A 【详解】∵，与的夹角为，∴， 又， ∴，解得. 设为向量，的夹角，则， ∵，∴， ∴. 故选A. 9．【答案】ACD 【详解】 则，A正确；的虚部是，B错误；是纯虚数，C正确；对应点的坐标是，在第四象限，D正确． 故选ACD． 10．【答案】AC 【详解】对于A，由正弦定理，所以由，可推出，则，即A正确； 对于B，取，则，而不是等腰三角形，即B错误； ... ...