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课件网) 章末小结 第一章 三角函数 题型1 三角函数基本概念的应用 例1（1） 已知角 的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴.若是角 终边上一 点,且,则 ____. [解析] 因为,且,所以 , 所以 为第四象限角,解得 . （2） 已知角 的终边经过点,其中,,则 _____, _____. [解析] 因为,,所以 ,所以 . 故, . 求三角函数值的两种方法：（1）利用单位圆求解；（2）利用定义求解.当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 题型2 三角函数的诱导公式 例2 已知 . （1）化简 ； （2）若，求 的值. [解析] （1） . （2） . 正弦函数、余弦函数、正切函数的诱导公式是三角函数值化简与求值的主 要依据.利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦 与余弦、正切与余切之间函数名称的变换. ， ， ， ， 的诱导公式可归纳为的三角函数值.当为偶数时，得 的同名三角函 数值；当为奇数时，得 的异名三角函数值，然后在前面加上一个把 看成锐角时 原函数值的符号.规律概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数 的奇偶. 题型3 三角函数的图象及变换 例3（1） [2023年全国甲卷] 已知的图象由函数的图象向左平移 个单位长度得到，则曲线与直线 的交点个数为( ). C A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 把函数 的图象向左 平移 个单位长度后得到函数 的图象.作出函数 的部分图象和直线 ,如图所示.观察图象知，共有3个交点，故选C. （2） [2023年新高考全国Ⅱ卷] 已知函数 ，如图，，是直线 与曲线 的两个交点，若，则 _ ____. [解析] 不妨设， ，对比正弦函数的图象,易知 . ① 设，点的横坐标分别为,,则，且 两式相减， 得，即，解得 . 代入①，得，所以函数 ，所以 . （1）由图象或部分图象确定解析式 中的参数：①由最大值、 最小值来确定；②通过求周期来确定 ；③利用已知点列方程求出 . （2）注意图象变换的顺序是先平移再伸缩还是先伸缩再平移． 题型4 三角函数的性质 例4（1） 已知函数，则 在( ). A A.,上单调递增 B., 上单调递增 C.,上单调递减 D., 上单调递增 [解析] ， 令 ，，解得， ， 当时， ， 故在， 上单调递增.故选A. （2） [2023年全国乙卷] 已知函数在区间， 上单调递增，直 线和为函数的图象的两条相邻对称轴，则 ( ). D A. B. C. D. [解析] 不妨设,由题意得,解得.易知 是 的最小值点， 所以，得 ,于是 ,则 ,故选D. 1.求三角函数的定义域就是解最简单的三角不等式（组），通常可用三角函数 的图象或单位圆来求解. 2.求三角函数的值域（最值）常用的方法 （1）将所给的三角函数转化为二次函数并通过配方法求值域（最值）；（2）将 所给的函数转化为或，利用， 的有界性求 值域. 3.三角函数的单调区间经常采用整体法求解. 题型5 三角函数模型在实际问题中的应用 例5 如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已 知圆环的半径为，圆环的圆心距离地面的高度为 ，蚂蚁每 分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点 处. （1）试确定在时刻（单位：）时蚂蚁距离地面的高度（单位： ）； （2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过 ？ 首先建立平面直角坐标系，根据三角函数的定义建立函数关系，再利用单调 性解不等式. [解析] （1）以圆心 为原点，建立如图所示的平面直角坐标 系，设时蚂蚁到达点 ，则蚂蚁转过的角的弧度数为 ， 于是点的纵坐标 , . （2）由得 ， 又由，得 ， ，解得 . 故有的时间蚂蚁距离地面超过 . 解答三角函数应用题的一般步骤： ... ...
