2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数的虚部是( ) A. B. C. D. 2.如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( ) A. B. C. D. 3.如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是( ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4.若向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量是( ) A. B. C. D. 5.中，，是边上一点，，，，则的长为( ) A. B. C. D. 6.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度，在地面上选择了一座高为的大楼，在大楼顶部处测得双子塔顶部的仰角为，底部的俯角为，则双子塔的高度为( ) A. B. C. D. 7.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则( ) A. B. C. D. 8.点在边长为的正三角形的外接圆上，则的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，都是复数，下列选项中正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.如图是一个棱长为的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是( ) A. 直线与直线垂直 B. 直线与直线相交 C. 直线与直线平行 D. 直线与直线异面 11.在中，，角、、对边分别为，，，则下列式子正确的是( ) A. B. C. 若是直角三角形，则 D. 若是锐角三角形，在上有一动点，则最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知正四棱台的体积为，若，，则正四棱台的高为_____． 13.如图，在中，，点是线段上的一点，若，则实数 ． 14.在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为若，，则的最小值为_____；若，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 设复数，． 在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； 若是纯虚数，且是方程的根，求实数，的值． 16.本小题分 如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点，设，． 若，试用向量，表示，； 若，求的面积． 17.本小题分 如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，，，分别为，，的中点，平面平面． 判断直线与的位置关系并证明； 求证：平面； 直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 18.本小题分 现有一几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱如图所示，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍． 若，，求该几何体的体积． 若正四棱锥的侧棱长为，． 求正四棱锥的侧面积． 若，分别是线段，上的动点，求的最小值． 19.本小题分 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形设． 当，求四边形的面积； 当为何值时，线段最长并求最长值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：由题意可知，， 若复数对应的点在实轴上，则， 可得，即， 所以． 因为， 若是纯虚数，则，解得， 由题意可知，也是该方程的根， 由韦达定理可得，即，所以，． 16.解：因为是的中点，所以， 因为，所以， 所以． 所以； 因为，所以． 因为，且， 所以， 所以， 又因为，，， 所以， 所以，解得． 所以，则， 所以． 17.解：，证明如下： 依题意，，平面，平面， 则平面， 又平面平面，平面， 所以； 证明：取中点，连接，， 在中，， 在 中，， 则，， 即四边形为平行四边形， 因此， 又平面，平面， 所以平面； 当为中点时，平面平面，证明如下： 取的中点为，连接，， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又，平面，， 所以平面平面． 18.解：由条 ... ...
