2025年高考数学二轮热点题型归纳与演练(上海专用)专题01空间向量与立体几何(原卷版+解析)

专题01 空间向量与立体几何 题型01 直接求线面角 2 题型02 根据条件求线面角 3 题型03 根据条件求线线角 5 题型04 直接求二面角 5 题型05 根据条件求面面角 6 题型06 空间中的距离问题 8 题型07 存在性问题 9 题型08 其他问题 10 【解题规律·提分快招】 1、求空间几何体的体积的常用方法 公式法规则几何体的体积，直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 求空间几何体的表面积方法归纳： (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和． (3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理． 3、证明平行关系的常用方法 熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法． 4、(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． (2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证． 5、(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)． (2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理． 题型01 直接求线面角 【典例1-1】．（2024·上海·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点是的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【典例1-2】．（2022·上海·模拟预测）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC， (1)求三棱锥P-ABC的体积； (2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）. 【变式1-1】．（2024·上海徐汇·二模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，为圆的直径，且，是底面圆的内接正三角形，为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式1-2】．（2023·上海普陀·三模）如图，在四棱锥中，正方形的边长为2，平面平面，且，，点分别是线段的中点. (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【变式1-3】．（2023·上海虹口·三模）已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，半径为2，母线SA SB的长为，且M为线段AB的中点． (1)证明：平面SOM平面SAB； (2)求直线SM与平面SOA所成角的大小． 题型02 根据条件求线面角 【典例2-1】．（2024·上海虹口·二模）如图，在三棱柱中，，为的中点，，. (1)求证：平面； (2)若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【典例2-2】．（2024·上海·模拟预测）如图为正四棱锥为底面的中心． (1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【变式2-1】．（2024·上海奉贤·三模）如图，四棱锥的底面是梯形，，，，平面，． (1)求证：平面 (2)若二面角的大小为，求与平面所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示） 【变式2-2】．（2024高三下·上海·专题练习）如图，在圆柱中，底面直径等于母线，点在底面的圆周上，且，是垂足． (1)求证：； (2)若圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成角的大小． 【变式2-3】．（2024·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且． (1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 题型03 根据条件求线线角 【典例3-1】．（2024高三·上海·专题练习）如图，在 ... ...