大题仿真卷02（A组+B组+C组） （模式：5道解答题 满分：78分 限时：70分钟） 一、解答题 1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B； (2)若△ABC的面积为，求a． 【答案】(1)； (2)6． 【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解； （2）由（1）得，由三角形面积求得，再由余弦定理即可求得a． 【解析】（1）因为， 所以由余弦定理得，故， 所以，又， 所以； （2）由（1）知，又，所以， 所以，所以，， 因为，所以，所以， 所以由余弦定理得,所以. 2．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)求证：直线平面； (2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直可证线面垂直，再结合中位线可得证； （2）根据线线平行可证线面平行，进而可证直线，建立空间直角坐标系，可设，结合异面直线夹角可解得点，再根据向量法可得平面的法向量，进而可得二面角余弦值. 【解析】（1），平面平面，平面平面，平面， 又，分别是，的中点， ， 平面； （2） ，平面平面 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则点在平面内， 即，，，，， 则，，， 而，平面，平面， 平面， 又平面与平面的交线为直线， ， 设, 则点坐标为，，，解得， 则点坐标为，， 设平面的法向量， 即，即，取，可得； 设平面法向量为， 则，即，取，可得； ， 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 3．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率． (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）答案见解析 【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率； （2）（i）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求； （ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解. 【解析】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得：. （2）（i）设为赔付金额，则可取，由题设中的统计数据可得：， ，， ，， 故， 故（万元）. （ii）由题设保费的变化为，故. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为分别为的上，下顶点，是上不同于点A的两点. (1)求的值； (2)记的面积分别为，若，求的取值范围； (3)若直线与的斜率之和为2，作，垂足为，试问：点是否在一个定圆上？若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)2 (2) (3)点在圆 【分析】（1）根据椭圆方程求，即可得； （2）根据（1）可得，由题意可得，结合椭圆方程列式求解； （3）设直线，联立方程，根据题意结合韦达定理可知直线过定点，结合垂直关系分析圆的方程，注意分类讨论直线的斜率是否存在. 【解析】（1）由题意可知：，且焦点在x轴上， 可知， 所以. （2）由（1）可知：， 若，即，可得， 又因为在椭圆上，则，即， 可得，解得或， 且，可得或， 所以的取值范围为. （3）若直线的斜率存在，设直线， ... ...
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