大题仿真卷06（A组+B组+C组） （模式：5道解答题 满分：78分 限时：70分钟） 一、解答题 1．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理即可得； （2）由余弦定理结合重要不等式可得取值范围，再由三角形的面积公式可求出面积的最大值. 【解析】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 即. （2）由（1）可知， 所以或. 在中，由余弦定理得 ， 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 综上所述，的面积最大值为. 2．在如图所示的圆锥中底面半径为2，P是顶点，O是底面的圆心，A、B是圆周上两点，且 (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)设圆锥的高为2，M是线段AB 上一点，且满足 求直线 PM 与平面POB 所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆锥侧面积公式求得母线长，可得圆锥的高，进而由圆锥的体积公式计算即可； （2）由条件得点是线段中点，取中点，则，又，所以平面，从而是直线与平面所成的角，计算即可. 【解析】（1）设圆锥底面半径为，母线长为，， 则侧面积，解得， 于是圆锥的高， 圆锥的体积． （2）中，，，则点是线段中点， 取中点，连接，，则， 又，则， 由直线平面，平面，得， 结合，且，平面， 所以平面， 因此直线是在平面内的射影， 从而是直线与平面所成的角， ∵，∴， 又，得， 所以. 即直线与平面所成的角为. 3．某区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示： 性别 是否喜欢篮球 合计 喜欢 不喜欢 男生 350 250 600 女生 250 150 400 合计 600 400 1000 (1)依据的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联； (2)用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的，喜欢篮球的600名初中学生中抽取12名学生做进一步调查，将这12名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用X 表示随机抽取的3人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 附：参考数据 其中 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)不能 (2)分布列见解析， 【分析】（1）计算，与比较，根据独立性检验的原理即可得结论； （2）求出男生人数，根据超几何分布的概率计算可得分布列，进而求得数学期望. 【解析】（1）零假设：该区初中学生的性别与喜欢篮球无关， 则， 依据的独立性检验，没有理由认为假设不成立， 即不能认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联； （2）由题意按性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取的12名学生中男生有7名，女生有5名， 则X的取值可能为：0，1，2，3， 则， ， 故X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望. 4．已知圆，双曲线，直线，其中． (1)当时，求双曲线的离心率； (2)若与圆相切，证明：与双曲线的左右两支各有一个公共点； (3)设与轴交于点，与圆交于点、，与双曲线的左右两支分别交于点、，四个点从左至右依次为、、、．当时，是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据离心率公式即可； （2）联立双曲线和直线方程，根据韦达定理即可证明； （3）联立圆和直线方程，得到韦达定理式和判别式，再联立双曲线方程和直线方程，得到韦达定理和判别式，再将向量点乘式化成横坐标关系，再代入化简即可. 【解析】（1）由题意，，所以，， 因此，双曲线的离心率. （2）由直线与圆相切，得，即， 联立得， 即， 该一元二次方程的判别式， 因此有两个不相等的实数根， 且两根之积为，因此两根一正一负， 即与双曲线的左右两支各有一个公共点 ... ...
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