压轴题07 导数大题 总论 一、导数证明不等式，核心思维有两个方向： 构造对应的函数不等式，用导数证明不等式成立。。 利用函数不等式来放缩。涉及到求和或者求积型不等式，放缩有以下两个思维 （1）、先放缩再求和证明； （2）、先求和再放缩证明。 所以证明的一般思维和基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 二、不等式证明的“借式子”思维： 首先作为第二问不等式证明中，关键需要利用（1）中的结论，得出符合证明的不等式，或者符合证明方向的不等式放缩条件式子，这需要结合（1）中的结论，巧妙赋值，适当凑配。 其次，还需要联想要证的不等式的大小关系，构造函数合适的函数关系式，得出放缩关系是。 利用数导数证明数列不等式方法 常根据已知的函数不等式或者构造函数不等式进行证明，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量，通过求和达到证明的目的. 特别是对于“无线和与无线积”型，可以适当的联想数列递推公式的裂项法，或者通过适当的取对数，把积转化为和的形式来证明。 压轴题型一：无限和裂项型数列不等式证明 √满分技法 证明不等式，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，即 这样一来，设， 则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立. 1．如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积. (1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积； (2)当时，求证：； (3)求证：. 2．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：且） (3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 3．已知函数，， (1)求函数的单调区间及最值； (2)若对任意，有成立，求的取值范围； (3)求证：. 压轴题型二：累积型数列不等式证明 √满分技法 累加列项相消证明法 证明不等式为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，如转化为 累积相消型 这样一来，设， 则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立. 证明不等式为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可以通过取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为 累加或者累积相消型 1．已知函数， (1)讨论的单调性； (2)当时，以为切点，作直线交的图像于异于的点，再以为切点，作直线交的图像于异于的点，…，依此类推，以为切点，作直线交的图像于异于的点，其中．求的通项公式． (3)在（2）的条件下，证明： 2．已知函数，． (1)求函数的最值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)证明不等式：． 3．已知正项数列的前项和为，首项. (1)若，求数列的通项公式； (2)若函数，正项数列满足：. （i）证明：； （ii）证明：. 压轴题型三：三角函数型不等式证明 √满分技法 对于含有三角函数型不等式证明： 1.证明思路和普通不等式一样。 2.充分利用正余弦的有界性 3.三角函数与函数的重要放缩公式：. 1．已知函数． (1)求的极值； (2)已知，证明：． 2．已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的值； (2)求证：． 3．已知函数． (1)若的图象不在轴的下方，求的取值集合； (2)证明：． 压轴题型四：凸凹翻转证明不等式 √满分技法 凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明. 1．已知函数 ... ...
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