2025届中考复习专题03:圆的综合训练 【题型1】 圆中利用勾股求线段长 1 【题型2】 求圆中阴影面积 9 【题型3】 圆与三角函数 16 【题型4】 圆中截长补短构造手拉手模型 31 【题型5】 圆与相似 42 【题型6】 圆中的动点问题 57 【题型7】 圆中的探究性问题 70 【题型8】 圆的综合性问题 80 【题型9】 圆中的定值问题 101 【题型1】 圆中利用勾股求线段长 【例题1】（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质： （1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （2）由（1）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：；即：的半径为． 【巩固练习1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得，∴半径的长为3 【巩固练习2】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分； （2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分； （2）解：设的半径为r，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 【巩固练习3】（2024·广东中山·三模）如图，已知以的边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于，， (1)求证：是切线； (2)求； (3)求的值． 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【分析】（1）连接，圆周角定理结合角平分线，推出，直径所对的圆周角是直角，得到，进而得到，根据，得到，即可得证； （2）先证明，得到，求出的长，进而求出的长，求出的长，再利用正弦的定义进行求解即可； （3），得到，设，，勾股定理求出的值，推出，进而得到，求出的长，设，，勾股定理求出的值，即可． 【详解】（1）证明：连接， 是的平分线， ． ， ． ． ， ， ． ， ． 在上， 是的切线． （2）解：， ． ， 又， ． 又， ． ． ，， ，则． ，则=2.5． ， ． （3）解：， ． 设，， ， ，即． ． ． ． ． ， ． ． ． 在中，设，， ，即 ， ∴= 【巩固练习4】（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在中，且点E为的中点，的平分线交于点M，点O在上，以点O为圆心，的长为半径的圆经过点M，交于点G，交于点F． (1)求证：为的切线； (2)当时，求的半径； (3)试探究线段和之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为3 (3) 【分析】（1）连接，由是的平分线，得，从而，即可得是 ... ...
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