2024-2025学年上海南模中学高三下学期数学周测（2025.02）（图片版，含答案）

南模中学2024学年第二学期高三年级数学周测 2025.02 一、填空题 1．已知命题“，使得”是真命题，则实数的最大值是_____． 2．已知，则_____． 3．已知扇形的弧长为，圆心角为弧度，则扇形的面积为_____． 4．如图，在平行四边形中，，向量，用向量，示，则.._____． 5．已知数列满足．若为严格递减数列，则实数的取值范围为_____． 6．用、乙两个零件正常工作的概率分别为0.3，0.6，且它们是否正常工作相互独立，则这两个零件至少有一个正常工作的概率为_____． 7．设点为的三条内角平分线的交点，当，时，，其中，，则复数_____． 8．若点、在圆上运动，，为的中点．点在圆上运动，则的最小值为_____． 9．若关于的不等式的解集为若，，试探究，，，的值，则的最小值为_____． 10．如图，已知三角形为直角三角形（为直角），分别连接点与线段..的等分点，，…，得到个三角形依次为，，…，，将绕着所在的直线旋转一周，记，，…，旋转得到的几何体的体积依次为，，…，，若，则三角形旋转得到的几何体的体积_____． 11．如图，曲线上的点与轴上的点（构成一系列正三角形：，，…，．设正三角形的边长为，点．则数列的通项公式为_____． 12．已知函数是定义在上的连续可导函数，为其导函数，且，，成立．若当时，，且，则不等式的解集为_____． 二、单选题 13．已知复数是方程的一个根，则实数（ ） A． B．5 C． D．6 14．在中，已知，，，为中点，则（ ） A．2 B． C． D． 15．已知函数，函数恰有两个不同的零点，，则的最大值和最小值的差是（ ） A． B． C． D． 16．已知双曲线的离心率为，直线过双曲线的右焦点且与双曲线交于，两点，双曲线的左焦点满足，则直线被圆所截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 三、解答题： 17．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，为中点． （1）求证：； （2）当时，求平面和平面夹角的余弦值． 18．在中，内角，，所对应的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，为边上的一点，且，，求的最大值． 19．1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2021年休斯敦世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊、尊重、合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王、小张、小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛．由抽签决定小王、小张先上场比赛，小马做裁判．根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率为，小马与小张比赛小张获胜的概率为，小马与小王比赛小马获胜的概率为． （1）比赛完3局时，求三人各胜1局的概率； （2）比赛完4局时，设小马做裁判的次数为，求的分布列和期望． 20．17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示，四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形带槽杆长为4，点，间的距离2转动杆一周的过程中始终有，点在线段的延长线上，且． （1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于，两点．记直线，的斜率分别为，． （i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于，的点，且平分，求的取值范围． 21．已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数：二阶导函数，则称为上的凸函数．若是区间上的凹函数，则对任意的，，…，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立），若是区间上的凸函数，则对任意的，，…，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立），已知函数，． （1）试判断在 ... ...